Problema en la integral definida

Question

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La pregunta dice 'evaluar la integral con la sustitución sugerida. Da $$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos x\sqrt{1-2\sin x} dx$. Pero creo que$u=\cos x$ es mejor.

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Mi pregunta es cómo solucionarlo usando$u=1-2\sin x$. ¿Puede alguien mostrar la solución para ello? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Bueno, @Nilan tiene el mejor camino a seguir. Pero, aquí es otra "Fuerza Bruta" doble método de sustitución que funciona.

Escribir, $\sin x = \sqrt{1-\cos^2 x}$ (la raíz cuadrada positiva es apropiado aquí desde $0\le x\le \frac{\pi}{6}$. Luego, con $u = \cos x$, $du = -\sin x dx=-\sqrt{1-u^2}du$, y los límites de integración se extienden desde $u=1$$u=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Por lo tanto,

$$\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos x\sqrt{1-2\sin x}dx= \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \frac{u\sqrt{1-2\sqrt{1-u^2}}}{\sqrt{1-u^2}}du$$

Ahora, hacemos una segunda sustitución. Deje $y=\sqrt{1-u^2}$. A continuación, $dy=\frac{-2u}{\sqrt{1-u^2}}du$ y los límites de integración ir de$y=\frac12$$y=0$. (Nota: Esta segunda sustitución es idéntica a hacer el original de sustitución de $u=\sin x$). Por lo tanto,

$$\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos x\sqrt{1-2\sin x}dx=\int_0^{\frac12} \sqrt{1-2y}dy=\frac13$$

Answer 2

Considere la integral \begin{align} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos x\sqrt{1-2\sin x} dx \end {align} con la sustitución$u = \cos(x)$. Haciendo la sustitución deseada, la integral se convierte en \begin{align} I = \int_{\sqrt{3}/2}^{1} u \sqrt{ \frac{1 - 2 \sqrt{1-u^{2}}}{1 - u^{2} } } du \end {align} Ahora haga la sustitución$t = 1 - u^{2}$ para obtener la integral \begin{align} I = \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - 2t} \, dt. \end {align} Haciendo un último cambio de$y = 1-2t$ \begin{align} I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{y} \, dy = \frac{1}{3}. \end{align}

Answer 3

La sustitución está bien, y si se le ordenó hacerlo, entonces no hay opción, pero creo que hay un camino más sencillo. Primero, observe que

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En nuestro caso, tenemos

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Y así obtenemos directamente

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