Problema de punto fijo único

Question

Sea$f: \mathbb{R}_{\ge0} \to \mathbb{R} $ donde$f$ es continuo y derivable en$\mathbb{R}_{\ge0}$ tal que$f(0)=1$ y$|f'(x)| \le \frac{1}{2}$.

Demuestre que sólo existe un$ x_{0}$ tal que$f(x_0)=x_0$.

Answer 1

Considerar $g(x)=f(x)-x$. Tenemos que$g'(x)=f'(x)-1<-1/2<0$ y que$g(0)=1$. Así que$g(x)$ está disminuyendo estrictamente y$g(0)>0$, así que debe haber un$x_0$ tal que$g(x_0)=0=f(x_0)-x_0$.

Observación: por supuesto tenemos que$\lim_{x \to +\infty}g(x) = -\infty$

Answer 2

Tenga en cuenta que$1-{1 \over 2} x \le f(x) \le 1+ {1 \over 2}x$ y así$f(x) -x \le 1-{1 \over 2}x$.

Por lo tanto$f(0) -0 = 1$ pero para$x \ge 2$ tenemos$f(x) -x \le 0$. Por lo tanto debe haber algún$x \in [0,2]$ tal que$f(x) -x = 0$.

Suponga ahora$f(x_1) = x_1, f(x_2) = x_2$. Entonces$|x_1-x_2| = |f(x_1)-f(x_2)| \le {1 \over 2} |x_1-x_2|$ por el teorema del valor medio, así que debemos tener$x_1 = x_2$.

Answer 3

Si$f(x)=x$ y$f(y)=y$ para$y>x$, entonces$$y-x=|f(y)-f(x)|=|\int_{x}^y f'(t)\mathrm{d}t|\leq \int_x^y |f'(t)|\mathrm{d}t<\frac{1}{2}(y-x),$ $ una contradicción.