¿Converge la secuencia no decreciente de esta forma?

Question

Dada una secuencia no decreciente$(a_n)$:$$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \ldots$ $ y$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n - a_{n-1}) = 0$ $ ¿Tiene que converger?
Para estrictamente la secuencia$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < \ldots$ con la propiedad limit, es fácil demostrar que no converge, por ejemplo tomar$a_n = \sqrt{n}$. En este caso, sin embargo, no pude encontrar una secuencia de ejemplo de contador, y tengo la sensación de que esta secuencia podría converger, pero de nuevo no estoy tan seguro. Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Es evidente que la secuencia$b_n=a_{n+1}-a_n$ no es negativa, es decir$b_n\ge0$ para cada$n$.

• Si se da una secuencia no negativa$b_n\ge0$, ¿puede encontrar una secuencia correspondiente (no decreciente)$a_n$ tal que$b_n=a_{n+1}-a_n$?
• ¿Puedes encontrar una secuencia no negativa que no tiene límite?

Answer 2

Tomemos por ejemplo la secuencia armónica:$$ H_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ $

Tiene la propiedad que$H_n \to \infty$, pero$H_{n}-H_{n-1}=\frac{1}{n} \to 0$.