Encontrar todos los impares enteros positivos mayores que 1 tal que para cualquier relativamente primos divisores de a y b de n, a+b-1 también es un divisor de n

Question

Somewhy creo que todos estos números son un conjunto vacío porque a+b-1 también es extraño, por tanto, U puede encontrar algunos d: $d<n$, $d<a+b-1$, que también es impar, y relativamente primer a $(a+b-1)=f$, y, a continuación, de nuevo, f+d-1 debe ser un divisor de n, y así sucesivamente, y así sucesivamente, pero en un paso $f*+d*-1$ será mayor que n, por lo tanto la contradicción..alguna idea?

Answer 1

Escribir $M = p^n m$ donde $p$ es el menor factor primo de $M$, e $(p^n,m) = 1$. Desde $p^n$ es coprime a $m$, es cierto que $p+m - 1 | M$. Sin embargo, desde la $p+m-1$ es co-prime a $m$ $p-1$ es co primer a $m$, debido a $m$ contiene sólo los factores primos mayor que $p$, se deduce que el $p+m-1 \stackrel{(1)}{=} p^k$ algunos $k$.

Ahora, de nuevo, $p^k + m - 1 = 2p^k - p$ es un divisor de a $M$, lo que implica que $2p^{k-1} - 1$ es un divisor de a $M$. Sin embargo, ya que es co primer a $p^k$, tendrá que dividir $m$. Sin embargo, esto implica que: $$ 2p^{k-1} - 1 | p (2p^{k-1}-1) - 2m = p-2 $$ by $(1)$.

Este divertido ocasión se produce precisamente cuando se $k = 1$, ya que de lo contrario $2p^{k-1}-1 > p - 2$. Si eso sucede, entonces, por supuesto,$m=1$, y, a continuación, $M = p^k$ donde $p$ es un primo. Se puede comprobar que en efecto es cierto para el primer poderes, y por lo tanto, la propiedad es verdadera precisamente para el primer poderes.

Answer 2

En primer lugar supongamos que $n$ es un entero positivo con la anterior propiedad.

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Suponga que $p$ es el menor factor primo; los que se divide $n$.
$\color{Green}{\text{Remark(I)}}$ : $n$ no tiene ningún divisor $d$ , con $ \color{Purple}{\dfrac{n}{p}} < d < \color{Blue}{n}.$

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$\color{Red}{\text{Claim}}$ : $n$ no tiene ningún otro factor primo diferente de $p$ ;
es decir, si $q$ es cualquier factor principal de $n$,$p=q$.
Prueba:

• $n=p$; no hay nada a la izquierda, para demostrar, en este caso.
• $n\neq p$; supongamos por el contrario,
  que $n$ tiene un primer factor de $q$ diferente de $p$.
  Tenga en cuenta que: $$ 0 < p-1 \Longrightarrow \color{color Púrpura}{\dfrac{n}{p}} < \dfrac{n}{p}+q-1;$$ en el otherhand, tenemos: $$\dfrac{n}{p}+p-1 \leq \dfrac{n}{p}+\dfrac{n}{p}-1 = \dfrac{2}{p}n -1 \leq n-1 < \color{Blue}{n}.$$ $\color{Red}{\text{but}}$ por $\color{Green}{\text{Remark(I)}}$ sabemos que $n$ no tiene ningún divisor entre $\color{Purple}{\dfrac{n}{p}}$ y $\color{Blue}{n}$. $\square$

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$\color{Verde}{\text{por Lo que podemos concluir que} \ n \ \text{debe tener en la mayoría de sólo un factor primo}}$.