$(a^2+b^2-ab)(a^2+b^2-2ab)$ es un cuadrado perfecto

Question

Demostrar que hay infinitamente muchos enteros pares de $(a,b)$ con diferente valor de $\frac ab$ que $(a^2+b^2-ab)(a^2+b^2-2ab)$ es un cuadrado perfecto.

Answer 1

$$ a^2 - ab + b^2 = c^2, $$ donde $$ a = r^2 + 2rs, $$ $$ b = r^2 - s^2 $$ $$ c = r^2 + rs + s^2 $$

As Jyrki points out, for any prime $p \equiv 1 \pmod 3,$ we can find $r,s$ such that my $c = p.$ A little extra work shows that we can demand $r,s > 0.$ For, suppose we have $r,s$ with $rs < 0,$ WLOG $r > 0,$ $s < 0.$ Then we get $x^2 - xy + y^2 = r^2 - r + s^2$ with $x = r,$ $y = r - s > 0.$

These are called Eisenstein triples. Similar to Pythagorean Triples. Strange, the parametrizations given on Wikipedia do not seem as good as the one I got. On the other hand, the expression $ a^2 - ab + b^2 = c^2, $ or $ a^2 - ab + b^2 - c^2 = 0, $ está pidiendo null vectores de una isotrópica ternario forma cuadrática sobre los enteros. No hay un método general para estos que se inició en Fricke y Klein (1897). He comprado una copia. He incluido una prueba de la parte práctica en http://math.stackexchange.com/questions/1972120/ternary-quadratic-forms/1976199#1976199 no Hay MUCHO QUE explicar... sin Embargo, usted puede fácilmente verificar los reclamos de parametrización de las obras.

Aquí es parte de mi programa de C++ de salida que he usado:

jagy@phobeusjunior:~$ ./homothety_indef  1 1 -1 0 0 -1  0 3 0 0 -3 0  2 | tail -15
4
3
2
1
0
      1      2      0 transposed        1      1      1
      1      0     -1 transposed        2      0      1
      1      1      1 transposed        0     -1      1



             -3 :     1     1         -1      0    0   -1
            -27 :     0     3          0      0   -3    0


-3 =  -1 * 3
-27 =  -1 * 3^3
Tue Aug 22 12:01:04 PDT 2017


jagy@phobeusjunior:~$