La convergencia de una serie de traducciones de Lebesgue integrable función

Question

Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser un Lebesgue integrable función. Demostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(x-\sqrt{n})}{\sqrt{n}}$$ converges almost for every $x \in \mathbb{R}$.

Mi táctica aquí (que por supuesto me puede llevar a ninguna parte) es para expresar esta serie como una integral o suma de las integrales y el uso de algún modo el hecho de que $f$ es integrable junto con un teorema de convergencia de curso.

De integrabilidad de $f$ sabemos que $f$ es finito en casi todas partes que creo que me ayudaría en mi prueba.

Pero no sé exactamente cómo empezar con esto.

Cualquier sugerencia útil sería apreciada. No quiero una solución completa a este.

Gracias de antemano.

Answer 1

Un método de fuerza bruta: Definir $g(x):= \sum_0^{\infty} \frac{|f(x-\sqrt n)|}{\sqrt n}$, lo que a priori podría ser infinito en muchos puntos. Corregir algunos $j \in \Bbb Z$. Por Tonelli del teorema podemos intercambio de la suma y la integral para calcular \begin{align*}\int_j^{j+1} g(x)dx &=\sum_{n=1}^{\infty} \int_j^{j+1}\frac{|f(x-\sqrt n)|}{\sqrt n} dx \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/2}\int_{j-\sqrt n}^{j+1-\sqrt n} |f(x)|dx \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1} n^{-1/2}\int_{j-\sqrt n}^{j+1-\sqrt n} |f(x)|dx\\&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{\Bbb R}\bigg(\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1}n^{-1/2}\cdot1_{[j-\sqrt n,\;j+1-\sqrt n)}(x) \bigg)|f(x)|dx\end{align*} Ahora si $k^2 \leq n <(k+1)^2$, $n^{-1/2} \leq k^{-1}$ también $[j-\sqrt n,j+1-\sqrt n) \subset [j-k-1,j-k+1)$.

Por lo tanto, nos encontramos con que \begin{align*}\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1}n^{-1/2}\cdot 1_{[j-\sqrt n,\;j+1-\sqrt n)}(x) &\leq \big[(k+1)^2-k^2\big]\cdot k^{-1} \cdot 1_{[j-k-1,j-k+1)}(x) \\ &=(2k+1) \cdot k^{-1} \cdot 1_{[j-k-1,j-k+1)}(x) \\ & \leq 3 \cdot 1_{[j-k-1,j-k+1)}(x)\end{align*} En consecuencia, \begin{align*}\int_j^{j+1} g(x)dx & \leq 3\sum_{k=1}^{\infty} \int_{j-k-1}^{j-k+1}|f(x)|dx \\ & = 3\sum_{k=1}^{\infty} \int_{j-k-1}^{j-k}|f(x)|dx+3\sum_{k=1}^{\infty} \int_{j-k}^{j-k+1}|f(x)|dx \\ &= 3\int_{-\infty}^{j-1} |f(x)|dx + 3\int_{-\infty}^j |f(x)|dx \\ &\leq 6 \|f\|_{L^1}<\infty\end{align*} llegamos a la conclusión de que $g(x)<\infty$.e. $x \in [j,j+1]$. Pero $j\in \Bbb Z$ fue arbitraria, por lo que nos encontramos con que $g(x)<\infty$.e. $x \in \Bbb R$. Con un poco más de esfuerzo, este argumento puede ser generalizado para mostrar que $\sum_n n^{\alpha-1}|f(x-n^{\alpha})|<\infty$ cualquier $\alpha \in (0,1]$. Este fue el caso especial $\alpha=\frac{1}{2}$.