Es $\int_0^2 f(x) dx$ definido por $f(x)=x,x \ne 1$?

Question

Deje $f(x)=x,x \ne 1$.

Es $$\int_0^2 f(x) dx$$ definidas?

En la actualidad soy estudiante de la escuela secundaria, y nos enteramos de que la integral es el área bajo la gráfica. Pero en el cálculo de los libros de texto y sitios web, veo algunas cosas acerca de la "continuidad", y cosas que están "integrables". Así que me preguntaba si este simple caso se considera "integrable" (por $\lim_{x\to1} f(x)$ está definido) o no (porque tiene un valor de "desaparecidos" en total, en lugar de ser discontinua, pero aún integrable como una función de paso).

Gracias!

Answer 1

Técnicamente hablando, no, no lo es, ya que la función debe estar definida en todo el intervalo de $[0,2]$ para la integral sobre $[0,2]$ a estar bien definidos. Dicho esto, puede definir $f(1)$ sin embargo te quiero así que tiene una función definida en el $[0,2]$; si usted hace esto, la integral definida y su valor es $2$.

Answer 2

La integración de una función sobre una región, dicen $[a,b]$, $f(x)$ debe estar bien definido en esa región. Aquí $f(x)$ no está definido en $x=1$. Así que no se puede integrar. Dada la pregunta que uno se hace, esto es suficiente para responder a su pregunta. Pero si quieres saber más, tenga en cuenta que usted puede asignar cualquier valor real en $x=1$ para hacer la función bien definida y, a continuación, puede hacer lo siguiente:

$f(x)=x$, $x\neq 1$. A continuación, $f(x)$ puede no ser continua en $x=1$.

A continuación, tome $f(1)=a$ aquí $a$ puede no ser $1$.

Pero esta nota: Para cualquier $\epsilon>0$,

$$\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1-\epsilon}f(x)dx+\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon}f(x)dx+\int_{1+\epsilon}^{2}f(x)dx$$

Entonces, ¿qué está pasando aquí?

(1) Usted sabe que $\int_{c}^{c}g(x)=0$, para cualquier función de $g(x)$, ya que la integración a través de un único punto de es $0$, y no depende de la continuidad.

Ahora $$\int_{0}^{1-\epsilon}f(x)dx=\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_{0}^{1-\epsilon}=\dfrac{(1-\epsilon)^2}{2}\space\text{and}\space\int_{1+\epsilon}^{2}f(x)dx=\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_{1+\epsilon}^{2}=\dfrac{4-(1+\epsilon)^2}{2}$$

Pero el uso de (1), $$\lim_{\epsilon\to 0}\int_{1-\epsilon}^{1+\epsilon}f(x)dx=\int_{1}^{1}adx=0$$

Por lo tanto la respuesta es $$\int_{0}^{2}f(x)dx=\lim_{\epsilon\to 0}\Big(\dfrac{(1-\epsilon)^2}{2}+\dfrac{4-(1+\epsilon)^2}{2}\Big)=2$$

Answer 3

Para integrar una función sobre un intervalo de $A=[a,b]$, la función debe estar definida en todos los $A$.

Si $f$ no está definida en un número finito de puntos de $x_1, \dots, x_n \in A$, todavía puede tratar de dar la integral definida valor con el valor principal de Cauchy, que simplemente significa que integran alrededor de todas las discontinuidades:

Si $x_1 < x_2 < \dots < x_n$, podemos definir

$$I=P. V.\int_a^b f(x)\,dx := \\ \lim_{\epsilon\to0} \left(\int_a^{x_1-\epsilon}f(x)\,dx+\int_{x_1+\epsilon}^{x_2-\epsilon}f(x)\,dx+\cdots+\int_{x_n+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\right)$$

En este caso, tenemos

$$P. V. \int_0^2 f(x)\,dx = \\ \lim_{\epsilon\to0} \left(\int_0^{1-\epsilon} x\,dx+\int_{1+\epsilon}^{2} x\,dx\right) =\\ \lim_{\epsilon\to0}\left(\frac{(1-\epsilon)^2}{2}+\frac{2^2}{2}-\frac{(1+\epsilon)^2}{2}\right) = 2$$

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Por cierto, usted también puede definir $f(1)=c$ ser cualquier valor , de modo que la integral está bien definido. Entonces la integral sería igual

$$\int_a^bf(x)\,dx = \int_0^1 x\,dx + \int_1^1 c\,dx + \int_1^2 x\,dx = 2$$

que es el mismo valor que antes. Se puede generalizar este principio, y decir que si

$$f(x) = \begin{cases} x & \quad \text{if } x \neq x_i \text{ for all }i=1\dots n\\ c_i & \quad \text{if } x = x_i\text{ for some }i=1\dots n\\ \end{casos}$$

el valor de la integral sigue siendo la misma:

$$\int_0^2 f(x)\,dx=2$$

Answer 4

La integral de Riemann [0,2] no es definir en todos ya que f no está definida en 1, y por lo tanto no se define en el intervalo como un todo. Esto no es sólo un tecnicismo. La integral no es más definido en [1,1] que el valor de la función en x=1. No es un tecnicismo - pero es extraíble problema.

Si bien se comportó de f se extiende a [0,2] diciendo cualquier finito valor real en 1, entonces la integral definida y el valor es independiente de la elección de finito valor en 1. Pero, si las distribuciones son aceptados para extender f, entonces un impulso en x=1 produciría un valor diferente para la integral dependiendo de la altura elegida por el impulso.

Si la integración se toma con respecto a una medida, entonces la elección de la medida en el singleton intervalo [1,1] afectarán a la integral así.

El principio de Cauchy enfoque de valor es tomar los límites de cerca de una singularidad. El principio de Cauchy valor especifica la forma de tomar ese límite. Pero, la manera exacta en que dicho límite se toma puede cambiar el valor obtenido para la integral, o sea indefinido. Así, uno sólo puede decir que el principio de Cauchy valor de la integral es tal y tal. En este caso, si f es continua para empezar el valor es independiente del límite. Pero si f no es continua, entonces la integral puede variar.

Tal vez de contra-intuitivamente, lo que hace una función más en serio no integrable es lo suficientemente fuerte como falta de ser continua. Aunque ocasionalmente un salto de discontinuidad no es ningún problema. Si hay un número infinito de discontinuidades en una región finita, entonces el fallo de la existencia de un valor representativo para la función en cualquier intervalo finito conduce al fracaso del intento de integrar.

Que es todo lo anterior fue una discusión de extraíbles problemas en la integración, pero las funciones que toman un valor racionales y otros en irrationals puede ser mucho más serio no integrable debido a su naturaleza inherente, no sólo su contexto.

Lebesgue integral de Henstock, Kurzweil, etc - hay muchas ideas de lo que una integral es, al igual que hay muchas ideas para la suma de una serie infinita (por ejemplo, la Cesaro suma). Hardy escribió un libro sobre la manipulación de clásico no convergente la serie, por ejemplo. Consulte también - Pfeffer, el enfoque de Riemann para la integración. Se analizan algunos de los problemas de integrabilidad de una forma bastante concreta perspectiva.