¿Qué $H(\kappa)$ significa?

Question

Como el típico referencias (Wikipedia, Mathworld, etc.) no parece ocuparse de esta manera satisfactoria, pensé que este sería un buen lugar para poner un bonito definición formal. Por lo tanto:

He escuchado que si $\kappa$ es fuertemente inaccesible cardenal, a continuación, $H(\kappa)$ (o, a veces,$H_\kappa$) es igual a $V_\kappa$. ¿Qué $H(\kappa)$ significa en este caso y cómo se define?

Answer 1

Dado un infinito cardenal $\kappa$, $H(\kappa)$ denotaremos a la familia de todos los conjuntos hereditariamente de cardinalidad menor que $\kappa$. Por supuesto, esto puede mendigar a la pregunta: ¿Qué entendemos por hereditariamente de cardinalidad menor que $\kappa$?

Bueno, para $x$ a ser hereditariamente de cardinalidad menor que $\kappa$ exigimos que

• $x$ sí tiene cardinalidad menor que $\kappa$; y
• cada elemento de a $x$ tiene cardinalidad menor que $\kappa$; y
• cada elemento de cada elemento de $x$ tiene cardinalidad menor que $\kappa$; y
• $\ldots$

Creo que usted consigue el cuadro. Más sucintamente, $x \in H(\kappa)$ fib de su clausura transitiva, $\mathop{TC}(x)$, tiene cardinalidad $< \kappa$. Este conjunto se define para ser el más pequeño transitiva conjunto, incluyendo a $x$ o, de manera equivalente, se $\bigcup_{n \in \omega} \bigcup^{(n)} x$ donde para cada una de las $n \in \omega$ nos inductivamente definir $\bigcup^{(n)}x$ por

• $\bigcup^{(0)} x = x$; y
• $\bigcup^{(n+1)} x = \bigcup \left( \bigcup^{(n)} x \right)$.

Answer 2

Los elementos de $H(\kappa)$ son los conjuntos hereditariamente de cardinalidad menor que $\kappa$. Si $x\in H(\kappa)$, luego $|x|<\kappa$, $|y|<\kappa$ para cada $y\in x$, $|z|<\kappa$ siempre hay$x$$y$, de tal manera que $z\in y\in x$, y así sucesivamente.

Esto le da a la idea intuitiva, pero en realidad no es una definición. Por que es más fácil empezar por definir el cierre transitivo de un conjunto $x$:

$$\operatorname{tr cl}(x)=\bigcup_{n\in\omega}{\bigcup}^n(x)\;,$$

donde

$${\bigcup}^n(x)=\begin{cases} x,&\text{if }n=0\\\\ {\bigcup}\left({\bigcup}^{n-1}(x)\right),&\text{if }n>0\;. \end{casos}$$

A continuación, $$H(\kappa)=\{x:|\operatorname{tr cl}(x)|<\kappa\}\;.$$

(Aunque no tiene la forma requerida por el axioma esquema de comprensión, esta definición puede ser justificado por mostrar que $H(\kappa)\subseteq V_\kappa$ por cada infinita cardenal $\kappa$.)

Suponiendo CA, $H(\kappa)=V_\kappa$ fib $\kappa=\omega$ o $\kappa$ es fuertemente inaccesible.

Answer 3

Pensé en salir una versión alternativa de cierre transitivo en el caso de que los lectores pueden encontrar más intuitivo/útil.

El cierre transitivo de un conjunto $A$ se define como $$\begin{align}\operatorname{cl}_0(A)&:=A\\ \operatorname{cl}_{n+1}(A)&:=\bigcup\operatorname{cl}_n(A)\\ \operatorname{cl}(A)&:=\bigcup_{n<\omega}\operatorname{cl}_n(A).\end{align}$$

Nota:

• $A=\operatorname{cl}_0(A)\subseteq\operatorname{cl}(A)$
• Si $A\subseteq B$ $B$ es transitiva, a continuación, $\operatorname{cl}(A)\subseteq B$