¿Cómo puedo manipular $\frac { \sqrt { x+1 } }{ \sqrt { x } +1 } $ para encontrar $M>0$ ¿para probar un límite?

Question

Dado el siguiente límite, encuentre tal $M>0$ que para cada $x>M$ la expresión es $\frac { 1 }{ 3 }$ cerca del límite. En otras palabras, encontrar $M>0$ que para cada $x>M:\left| f(x)-L \right| <\frac { 1 }{ 3 }$ para la siguiente función:

$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { \sqrt { x+1 } }{ \sqrt { x } +1 } =1 } $$

Los pasos que di:

$$\left| \frac { \sqrt { x+1 } }{ \sqrt { x } +1 } -1 \right| <\frac { 1 }{ 3 } $$

$$\Longrightarrow \left| \frac { \sqrt { x+1 } }{ \sqrt { x } +1 } -\frac { \sqrt { x } +1 }{ \sqrt { x } +1 } \right| <\frac { 1 }{ 3 } $$

$$\Longrightarrow \left| \frac { \sqrt { x+1 } -\sqrt { x } -1 }{ \sqrt { x } +1 } \right| <\frac { 1 }{ 3 } $$

¿Cómo puedo manipular la función dentro del valor absoluto para simplificar esto y encontrar un límite inferior $x$ (la M)?

Answer 1

La racionalización habitual:

$\begin{array}\\ \sqrt{x+1}-\sqrt{x} &=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\ &< \frac1{2\sqrt{x}} \end{array} $

Answer 2

Sugerencia para una solución intuitiva:

$$\left|\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+1}-1\right|<\left|\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}-1\right|=\left|\sqrt{\frac{x+1}{x}}-1\right|=\left|\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1\right|.$$ Ahora bien, dejando que $x\to\infty$ entonces el resultado es el siguiente.

Answer 3

Primera racionalización

es decir $\left|\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right|$ = $\left|\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}{x-1}\right|$

\= $\left|\frac{\sqrt{x(x+1)}-\sqrt{x+1}-x+1}{x-1}\right|$

Entonces, podríamos elegir M como un valor particular para resolver el problema (tomando el máximo de M al final). En este caso, tomamos $M=2$

$\because x > M = 2$

$\frac{x}{2} > 1$

$\therefore$ $<\left|\frac{\sqrt{x+1}(\sqrt{x}-1)-x+1}{x-\frac{x}{2}}\right|$

\= $\left|(\frac{2}{x})(\sqrt{x+1}(\sqrt{x}-1)-x+1)\right|$

< $\left|(\frac{2}{x})(\sqrt{x+x}(\sqrt{x}-1)-x+1)\right|,x>2$

\= $\left|(\frac{2}{x})(2x-2\sqrt{x}-x+1)\right|$

\= $\left|(\frac{2}{x})(1-\sqrt{x})^2\right|$

< $\left|(1-\sqrt{x})^2\right|$ < $\frac{1}{3},x>2$

$\because (1-\sqrt{x})^2 < \frac{1}{3}$

$ x > (1-\sqrt\frac{1}{3})^2$

Por lo tanto, tome $M = max$ { ${(1-\sqrt\frac{1}{3})^2},2$ } $=2$