Estoy tratando de entender la noción (y notación) de la Mentira derivado en un colector general tratando de convertir la notación del ejemplo concreto de la Mentira de grupo O(n).
Deje $X,Y$ ser suave campos vectoriales sobre una suave colector de $M$, $p \in M$ y el flujo local $\psi_t: U \rightarrow M$ de X en una vecindad $U$$p$. A continuación, el $\textit{Lie derivative}$ y por lo tanto la Mentira de soporte se define como:
$$ [X,Y]_p := \mathcal{L}_X(Y_p) = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{(d\psi)_{-t}\; Y_{\psi_t(p)} - Y_p}{t}$$
En palabras: uno utiliza la retirada del campo de vectores $Y$ a lo largo del flujo de $X$ a definir este derivado.
Ahora, para $M=O(n)$, asociada con la Mentira de álgebra $\mathfrak{o}(n)=\{ X \in M(n,\mathbb{R}) : X = -X^T \}$, la Mentira de soporte para $A,B \in \mathfrak{o}(n)$ puede ser escrita como:
$$[A,B] = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\gamma(t) - B}{t}, $$
donde la curva de $\gamma$ está dado por
$$ \gamma(t) = \exp(tA)B\exp(-tA). $$
Por desgracia, me quedé atrapado en la definición del resumen de la notación apropiada para llegar a la última expresión.
¿Alguien tiene una idea de cómo definir $\psi$ y los campos vectoriales en esta situación? O, ¿alguien conoce una mejor $\textit{concrete}$ ejemplo donde uno puede entender bien la Mentira de derivados?
