Prueba de la Fórmula de Moivre

Question

Tengo un libro que tiene una breve historia de los números complejos y se cubre de Moivre la fórmula:

$(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$.

Yo soy muy curioso en cuanto a cómo este resultado fue encontrada originalmente, o derivada de, ANTES de la fórmula de Euler fue de alrededor. También, lo que fue el original de la prueba de esto?

Answer 1

Euler fue el primero en escribir abajo de Moirve la fórmula que he encontrado en La Primaria Matemática Trabajos de Leonhard Euler a partir de la página 29. Euler encontró $$(\cos(x)\pm i\sin(x))(\cos(y)\pm i\sin(y))(\cos(z)\pm i\sin(z)) = \cos(x \pm y \pm z)\pm i\sin(x\pm y\pm z)$$ de aquí se deduce de lo que nosotros llamamos de Moirve del teorema de $$(\cos(x)\pm i\sin(x))^n = \cos(nx)\pm i\sin(nx)$$ Luego de ello se sigue que $$\begin{align} \cos(nx) &= 1/2[(\cos(x)+ i\sin(x))^n+(\cos(x) - i\sin(x))^n]\tag{1}\\ \sin(nx) &= 1/2[(\cos(x)+ i\sin(x))^n-(\cos(x) - i\sin(x))^n]\tag{2} \end{align}$$ Euler que se expandió ecuaciones $(1)$ $(2)$ por el teorema del binomio. Luego vamos a $x$ ser un pequeño ángulo de aproximación y $n$ ser infinitamente grande, por lo que $xn$ era finito. Deje $xn=v$. A continuación, $\sin(x) = x = v/n$ y obtenemos $$\begin{align} \cos(v) &= 1 - \frac{v^2}{2!} + \cdots\\ \sin(v) &= v - \frac{v^3}{3!} + \cdots \end{align}$$ Mediante el uso de ecuaciones $(1)$ $(2)$ y dejando $j = n$ ser infinitamente grande número, de modo que $jx=v$, de modo que $nx = v = v/j$. Ahora tenemos $\sin(x) = v/j$$\cos(x)=1$. Con estas sustituciones, obtenemos $$\begin{align} \cos(v) &=\frac{(1+iv/j)^j+(1-iv/j)^j}{2}\\ \sin(v) &=\frac{(1+iv/j)^j-(1-iv/j)^j}{2i} \end{align}$$ En el documento vinculado, el autor que recoge el documento (Euler) que anteriormente se ha demostrado que la $(1+z/j)^j = e^z$. Dejando $z=\pm iv$, obtenemos $$\begin{align} e^{iv} &= \cos(v) + i\sin(v)\\ e^{-iv} &= \cos(v) - i\sin(v) \end{align}$$