Los números primos y el círculo Unidad.

Question

Considerar el "prime de caracol" $f(z) = \sqrt{z}\exp(2\pi i \sqrt{z})$, para un entero $z$. Se ha demostrado que las intersecciones de $f$ con algunas curvas cuadráticas contienen una desproporcionada cantidad de números primos. Deje $P = \{\exp(2\pi i \sqrt{p}) \;:\ p \;prime \}$, el conjunto de puesta en unidades de primer espiral de coordenadas.

1) Es $P$ igual a la del círculo de grupo o es un subconjunto? (tenga en cuenta que $P$ es contable)

2) ¿Cuál es el complemento de a $P$ en el círculo de grupo?

3) Es el complemento de un grupo?

4) Es el círculo del grupo de iguales para el cierre de $P$?

Answer 1

1. Como nota, $P$ es contable. El círculo de grupo (por lo que me tome lo que significa que el conjunto de los números complejos de módulo uno) es incontable. Por eso, $P$ es un subconjunto.

2. Yo no creo que haya mucho que se pueda decir sobre el complemento (nota de ortografía), salvo que la complementan.

3. No, el complemento no es un grupo. Tomar cualquier trascendental $\alpha$; a continuación, $e^{2\pi i\alpha}$ $e^{2\pi i(1-\alpha)}$ están en el complemento, pero su producto no lo es.

4. Sí. Es bien conocido, y no es difícil de demostrar, que los números, la parte fraccionaria de $\sqrt n$, son densos en la unidad de intervalo.

Answer 2

Como complemento a Gerry de la respuesta, otra sencilla manera de mostrar que $P$ no puede ser el círculo de grupo es tener en cuenta que el $P$ ni siquiera un grupo; no es $n$$\sqrt{n}\equiv\sqrt{2}+\sqrt{3}\pmod 1$. Por si no fuera, entonces habría algunos $m$$\sqrt{n}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+m$; pero, a continuación,$n=(2+3+m^2)+2m\sqrt{2}+2m\sqrt{3}+2\sqrt{6}$ ; y $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ $\sqrt{6}$ puede ser fácilmente demostrado ser linealmente independientes sobre los enteros.