El cómputo de Galois Grupo por la Reducción de la Mod P

Question

En la página 274 de Lang, Álgebra, dice lo siguiente teorema (parafraseando):

Deje $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ser un monic polinomio. Deje $p$ ser un prime. Deje $\bar{f} = f \bmod p$ ser el polinomio obtenido por la reducción de los coeficientes de mod $p$. Suponga que $\bar f$ no tiene múltiples raíces en una clausura algebraica de $\mathbb{F}_p$. Luego es una incrustación de que el grupo de Galois de $\bar f$ en el grupo de Galois de $f$.

Estoy confundido acerca de lo que esto significa; en particular, no sé exactamente cómo interpretar la frase "grupo de Galois de $\bar f$." No sólo significa que el grupo de Galois de $\bar f$ $\mathbb{Q}$ donde hemos de olvidar que alguna vez hemos reducido los coeficientes de mod $p$?

Ejemplo: creo que puedo aplicar este teorema para calcular el grupo de Galois de $x^4 + 3x^2 - 3x - 2$$\mathbb{Q}$. Aquí está mi argumento. Por favor, hágamelo saber si estoy aplicando el teorema correctamente.

La reducción de la $f$ mod 3 obtenemos $x^4 - 2$, que no tiene múltiples raíces (ya que es coprime con sus derivados). El grupo de Galois de $x^4 - 2$ $\mathbb{Q}$ es el diedro de grupo con 8 elementos. La reducción de la $f$ mod 2 obtenemos $x^4 + x^3 - x = x(x^3 + x^2 - 1)$ que tampoco tiene múltiples raíces. El cúbicos tiene discriminante $-23$, que no es un cuadrado en $\mathbb{Q}$, por lo que tiene grupo de Galois $S_3$.

Deje $G$ ser el grupo de Galois de $f$. Sabemos $G$ incrusta en $S_4$ desde $f$ tiene grado 4. Aplicando ahora el teorema, tanto en $S_3$ $D_8$ incrustar en $G$, lo $G$ tiene elementos de orden 3 y 4. Se genera un subgrupo de orden, al menos, 12, por lo $G$ debe $A_4$ o $S_4$. Desde $D_8$ es de orden 8, se puede incrustar en $A_4$, que tiene orden de 12, por lo $G = S_4$.

Estoy aplicando el teorema correctamente?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\overline{f}$ es un elemento de $\mathbb{F}_p[X]$ (de lo contrario, no serían múltiples opciones para $\overline{f}$) y el grupo de galois de $\overline{f}$ es en realidad el automorphism grupo de la extensión de campo $K/\mathbb{F}_p$ donde $K$ es una división de campo de la $\overline{f}$, por lo que es a priori difícil relacionar este grupo de galois para el grupo de galois de $f$ (que son los automorfismos de algunos finito extensión de $L$$\mathbb{Q}$).

Si suponemos (como en el teorema) que $\overline{f}$ $n$ distintas raíces en una clausura algebraica de $\mathbb{F}_p$ (o el equivalente, en $K$) el teorema como se indicó implica que hay una inyectiva homomorphism $\text{Gal}(K/\mathbb{F}_p) \hookrightarrow \text{Gal}(L/\mathbb{Q})$, por lo que puede ser realizado como un subgrupo del grupo de galois de $f$. La exacta homomorphism no es necesariamente conocida, pero a menudo todavía podemos ganar un montón de información. Por ejemplo, si el grupo de galois de $\overline{f}$ contiene un elemento de orden $k$ (para algunos $k\geq 1$), a continuación, lo hace el grupo de galois de $f$.

Edificio en su ejemplo: $x^4 + 3x^2 - 3x - 2$ es de hecho reducido a $x^4-2$ modulo $3$ pero se tiene que ver como un polinomio con coeficientes en $\mathbb{F}_3$. Factorizar este polinomio, podemos ver que este polinomio se descompone en dos irreducibles en $\mathbb{F}_3[X]$: $$x^4 - 2 = (x^2+x+2)(x^2+2x+2)$$ Ahora, ¿cuál es el grupo de Galois de este polinomio? Sobre campos finitos usted tiene que recordar una propiedad muy importante: el grupo de galois de una extensión finita finita campos es siempre cíclico! Así que en este caso, $\mathbb{F}_9$ es fácilmente visible a ser una división de campo de la $x^4-2$ y el grupo de galois es isomorfo a$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por lo que el grupo de galois de $f$ contiene un subgrupo de orden $2$, es decir, un elemento de orden $2$. Asimismo, nuestro polinomio reduce y factores sobre los $\mathbb{F}_2[X]$ $$x^4+x^2+x = x(x^3+x+1) $$ donde $x^3+x+1$ es irreducible, ya que no tiene raíces en $\mathbb{F}_2$. El grupo de galois de este polinomio es claramente $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ por lo que el grupo de galois de $f$ tiene un elemento de orden $3$.

Vamos ahora a $G$ ser el grupo de galois de $f$, considerado como un subgrupo de $S_4$. Sabemos desde $f$ es irreductible que $G$ actúa transitivamente sobre las raíces y por ello ha pedido divisible por $4$ (por la órbita-estabilizador de la fórmula). Además, contiene un elemento de orden 2 (pero esto que ya sabíamos..) y contiene un elemento de orden 3, un 3-ciclo, de los párrafos anteriores. Su orden es por lo tanto divisible por $12$. Ya que es un subgrupo de $S_4$ que tiene orden de $24$, ya casi estamos allí. Hay (al menos) dos formas de terminar el argumento:

• Si $G$ orden $12$, entonces sería un subgrupo normal de $S_4$, lo que implica que es igual a $A_4$ (este es un divertido grupo de teoría de ejercicio). Pero se puede "comprobar" (cfr. wolfram alpha) que el discriminante es -20183, que no es un cuadrado. Por lo tanto, $G$ no está contenido en $A_4$ $G = S_4$
• Si reducimos $f$ modulo $7$ permanece irreductible, así que tiene claras raíces en $\mathbb{F}_7$ y tiene un grupo de galois $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ que se incorpora en $G$ $4$- ciclo. Desde una $4$-ciclo no se en $A_4$, llegamos a la conclusión de que en el anterior argumento de que $G = S_4$

Para una muy clara y bien escrita exposición sobre esto, recomiendo este artículo de Keith Conrad.