Casos 1. y 2. cuando $a=\pm1$ se deduce de la siguiente observación: para toda función adecuada $u$ , $$ \mathrm E(u'(\Phi(X)))=\int_{-\infty}^{+\infty} u'(\Phi(x))\varphi(x)\,\mathrm dx=\left[u(\Phi(x))\right]_{x=-\infty}^{x=+\infty}=u(1)-u(0). $$ Por ejemplo, $u(t)=t\log(t)-t$ produce $u'(t)=\log t$ , $u(1)=-1$ y $u(0)=0$ por lo que $$ \mathrm E(\log\Phi(aX))=-1,\quad a=\pm1. $$ Igualmente, $u(t)=\frac12t^2\log t-\frac14t^2$ produce $u'(t)=t\log t$ , $u(1)=-\frac14$ y $u(0)=0$ por lo que $$ \mathrm E(\Phi(aX)\log\Phi(aX))=-\tfrac14,\quad a=\pm1. $$ Sobre el caso 3., $u(t)=\frac13t^3$ produce $u'(t)=t^2$ , $u(1)=\frac13$ y $u(0)=0$ por lo que $$ \mathrm E(\Phi(aX)^2)=\tfrac13,\quad a=\pm1. $$
Otro enfoque es diferenciar con respecto al parámetro $a$ y utilizar el lema de Stein. Consideremos $v(a)=\mathrm E(u(\Phi(aX)))$ para alguna función adecuada $u$ entonces $v(0)=u(\frac12)$ y $$ v'(a)=\mathrm E(X\varphi(aX)u'(\Phi(aX)))=\mathrm E(Xg(X))$$ donde $$ g(x)=\varphi(ax)u'(\Phi(ax)). $$ El lema de Stein y las identidades $\varphi'(s)=-s\varphi(s)$ y $\Phi'(s)=\varphi(s)$ rendimiento $$ v'(a)=\mathrm E(g'(X))=\mathrm E(-a^2X\varphi(aX)u'(\Phi(aX))+a\varphi(aX)^2u''(\Phi(aX))), $$ por lo que $$ v'(a)=-a^2v'(a)+a\mathrm E(\varphi(aX)^2u''(\Phi(aX))), $$ y $$ v'(a)=\frac1{1+a^2}\mathrm E(\varphi(aX)^2u''(\Phi(aX))). $$ Si $u(t)=t^2$ , $u''(t)=2$ por lo que se obtiene $v(0)=u(\frac12)=\frac14$ y $$ \mathrm E(\varphi(aX)^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(ax)^2\varphi(x)\,\mathrm dx=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(\sqrt{1+2a^2}x)\,\mathrm dx=\frac1{2\pi\sqrt{1+2a^2}} $$ por lo que $$ v'(a)=\frac{a}{\pi (1+a^2)\sqrt{1+2a^2}}. $$ Integrando esto, se obtiene $$ v(a)=\frac14+\frac1{\pi}\int_0^a\frac{x\mathrm dx}{(1+x^2)\sqrt{1+2x^2}}=\frac14+\frac1{\pi}\left[\arctan\sqrt{1+2x^2}\right]_{x=0}^{x=a}, $$ y finalmente, $$ \mathrm E(\Phi(aX)^2)=\frac1\pi\arctan\sqrt{1+2a^2}. $$ Igualmente, $u(a)=\mathrm E(\Phi(aX)\Phi(bX))$ produce $$ u'(a)=\mathrm E(X\varphi(aX)\Phi(bX))=\mathrm E(Xg(X))$$ donde $$ g(x)=\varphi(ax)\Phi(bx). $$ El lema de Stein y la fórmula $g'(x)=-a^2x\varphi(ax)\Phi(bx)+b\varphi(ax)\varphi(bx)$ rendimiento $$ (1+a^2)v'(a)=b\mathrm E(\varphi(aX)\varphi(bX)), $$ por lo que $$ v'(a)=\frac{b}{2\pi (1+a^2)\sqrt{1+a^2+b^2}}. $$ Finalmente, $$ \mathrm E(\Phi(aX)\Phi(bX))=\frac1\pi\arctan\sqrt{1+2b^2}+\frac{b}{2\pi}\int_b^a\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2+b^2}}. $$ Entre varias formulaciones equivalentes, esto significa que
$$ \mathrm E(\Phi(aX)\Phi(bX))=\frac14+\frac1{2\pi}\arctan\left(\frac{ab}{\sqrt{1+a^2+b^2}}\right). $$
El caso $\mathrm E(\Phi(aX)\Phi(bX+c))$ también podría resolverse con este método.
