Hay una natural definición (adecuada) para el derivado funcional en espacio-tiempo curvo

Question

Si $$\delta S = \int \sqrt g F[\phi] \delta \phi\tag{1}$$

Entonces es natural para definir el funcional derivada de la siguiente manera,

$$\frac{\delta S}{\delta \phi} = F[\phi].\tag{2}$$

En particular, hace que esta definición satisface la conmutatividad de los funcionales derivados.

Entiendo que esta no es la definición estándar de un funcional derivada, pero si defino de esta manera esto hace que un determinado cálculo estoy haciendo mucho más fácil de controlar. Así que para Aclarar lo que quiero saber es que si puedo definir el "funcional" derivado " de esta manera, entonces, si

$$S = \int \sqrt{g} L[\phi, g_{\mu \nu}]\tag{3}$$

es el verdadero?

$$\frac{\delta}{\delta\phi} \frac{\delta}{\delta g_{\mu \nu}} S = \frac{\delta}{\delta g_{\mu \nu}} \frac{\delta}{\delta\phi} S \tag{4} $$

Este es mi procedimiento para el cómputo de la segunda funcional derivado suponga

$$\frac{\delta}{\delta \phi}S = E[\phi, g_{\mu \nu}]\tag{5}$$

y $$\frac{\delta}{\delta g_{\mu \nu}}S = E^{\mu \nu}[\phi, g_{\mu \nu}]\tag{6}$$

(las ecuaciones de movimiento), a Continuación, para calcular la segunda funcional derivado escribimos, por ejemplo.

$$E[\phi, g_{\mu \nu}](x) = \int \sqrt{g} d^4 y E(y) \hat \delta(x-y)\tag{7}$$

donde $$\hat \delta (x-y) = \frac{\delta(x-y)}{\sqrt{g}}\tag{8} $$ es la generalización en función delta. Después de esto podemos usar la misma definición para calcular

$$\frac{\delta} {\delta g_{\mu \nu}} \int \sqrt{g} d^4 y E(y) \hat \delta(x-y)\tag{9} .$ $ , Por supuesto, ahora el resultado implicaría funciones delta.

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v4):

1. Primero un descargo de responsabilidad. Tenga en cuenta que incluso para un buen local funcional, la existencia de un funcional/variacional derivados no está garantizado, pero depende de elegir adecuadamente las condiciones de contorno.

2. Cálculo de variaciones, funcional/variacional derivados, Frechet derivados, Tartas derivados, etc, es un gran matemático tema. Si el OP está buscando rigor, a continuación, sugerimos a publicar la pregunta en Matemáticas.SE o Mathoverflow.SE. En esta respuesta que se acaba de hacer alguna heurística comentarios y ignorar el límite de términos.

3. Deje que se dé una $n$-dimensiones pseudo-Riemann colector $(M,g)$.

4. Podemos considerar que una delta de Dirac distribución $$\tag{A} \delta_M(x,y)~=~\frac{\delta^n(x-y)}{\sqrt{|g(x)|}}, \qquad g(x)~:=~\det(g_{\mu\nu}(x)),$$ en el colector, cf. OP eq. (8). Aquí $x$ $y$ denotar dos puntos en una coordenada vecindario $U\subseteq M$, [y para simplificar la notación, que también denotan las coordenadas de los dos puntos].

5. La delta de Dirac de distribución (A) es independiente de la elección de coordenadas, es decir, se transforma como un escalar.

6. A continuación nos gustaría definir el funcional/variacional derivada respecto. los campos de $\phi^{\alpha}(x)$ [que podría incluir el campo métrica de $g_{\mu\nu}(x)$].

7. El funcional derivado $\frac{\delta_M S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}$ debe satisfacer $$\tag{B} \delta S~=~ \int \! d\mu(x)~\frac{\delta_M S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}\delta\phi^{\alpha}(x), \qquad d\mu(x)~:=~\sqrt{|g(x)|}d^nx,$$ para la adecuada variaciones infinitesimales $\delta\phi^{\alpha}(x)$, cf. OP eq. (1).

8. En particular, tenemos la regla $$\etiqueta{C} \frac{\delta_M \phi^{\beta}(y)}{\delta\phi^{\alpha}(x)} ~=~\delta^{\beta}_{\alpha}~\delta_M(x,y). $$ Al $\phi^{\alpha}$ es la métrica de campo $g_{\mu\nu}$, ten en cuenta esta sutileza.

9. Al $\phi^{\alpha}$ y/o $\phi^{\beta}$ son la métrica de campo $g_{\mu\nu}$, la conmutatividad de la funcional de los derivados son generalmente no se esperaba, ya que el colector de noción (B) de la diferenciación funcional depende de la métrica, cf OP eq. (4). De hecho, es fácil encontrar contraejemplos.

10. Para el resto de esta respuesta, vamos a suponer que $\phi^{\alpha}$ $\phi^{\beta}$ son no el campo métrica de $g_{\mu\nu}$. Luego se espera que el funcional derivados commute $$\tag{D} [\frac{\delta_M}{\delta\phi^{\alpha}}, \frac{\delta_M}{\delta\phi^{\beta}}]~=~0. $$ Véase también, por ejemplo, Ref. 1.

11. Ejemplo. Si el funcional es de la forma $$\tag{E}S~=~\int \! d\mu(x)~L(\phi(x),\partial\phi(x),x),$$ y definimos $$\etiqueta{F}\nabla^{(x)}_{\mu} ~:=~ \frac{1}{\sqrt{|g(x)|}}d^{(x)}_{\mu}\sqrt{|g(x)|} ,\qquad d^{(x)}_{\mu}~:=~\frac{d}{dx^{\mu}},$$ entonces, la 1ª funcional derivado lee $$\frac{\delta_M S}{\delta\phi^{\alpha}(x)} ~=~\frac{\partial L(x)}{\parcial \phi^{\alpha}(x)} -\nabla^{(x)}_{\mu}\frac{\partial L(x)}{\parcial \phi^{\alpha}_{,\mu}(x)}$$ $$\etiqueta{G}~=~\int \! d\mu(y)\left[\frac{\partial L(y)}{\parcial \phi^{\alpha}(y)}\delta_M(x,y) + \frac{\partial L(y)}{\parcial \phi^{\alpha}_{,\mu}(y)}d^{(y)}_{\mu}\delta_M(x,y)\right],$$ así que la 2ª funcionales derivados se vuelve simétrica $$\frac{ \delta^2_M S}{\delta\phi^{\beta}(y)\delta\phi^{\alpha}(x)} ~=~\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}(y)\partial \phi^{\alpha}(y)}\delta_M(x,y) -\nabla^{(y)}_{\nu}\left[\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}_{,\nu}(y)\partial \phi^{\alpha}(y)}\delta_M(x,y)\right]$$ $$+\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}(y)\partial \phi^{\alpha}_{,\mu}(y)}d^{(y)}_{\mu}\delta_M(x,y) -\nabla^{(y)}_{\nu}\left[\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}_{,\nu}(y)\partial \phi^{\alpha}_{,\mu}(y)}d^{(y)}_{\mu}\delta_M(x,y)\right]$$ $$~=~\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}(y)\partial \phi^{\alpha}(y)}\delta_M(x,y) -\nabla^{(y)}_{\nu}\left[\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}_{,\nu}(y)\partial \phi^{\alpha}(y)}\delta_M(x,y)\right]$$ $$-\nabla^{(x)}_{\mu}\left[\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}(y)\partial \phi^{\alpha}_{,\mu}(y)}\delta_M(x,y)\right] -\nabla^{(y)}_{\nu}\nabla^{(x)}_{\mu}\left[\frac{\partial^2 L(y)}{\parcial\phi^{\beta}_{,\nu}(y)\partial \phi^{\alpha}_{,\mu}(y)}\delta_M(x,y)\right]$$ $$\tag{H}~=~\left[(x,\alpha) \leftrightarrow (y,\beta) \right].$$ Aquí hemos utilizado que $$\tag{I} [f(x)-f(y)]\delta_M(x,y)~=~0, \qquad [\nabla^{(x)}_{\mu}+d^{(y)}_{\mu}]\delta_M(x,y)~=~0.$$

Referencias:

1. Bryce DeWitt, Supermanifolds, Cambridge Univ. Press, 1992; eq. (5.1.3).

Answer 2

Cuando estoy confundido acerca de todos los funcionales derivados, lo que estoy haciendo:

$$ S(\phi_1,\phi_2,\phi_3,g_1,g_2,g_3) =\sqrt{g_1}\,L(\phi_1,g_1) + \sqrt{g_2}\,L(\phi_2,g_2) + \sqrt{g_3}\,L(\phi_3,g_3)$$

Espero que usted va a reconocer su $\int\sqrt{g}\, L[\phi,g]$ en la expresión anterior.
Los funcionales derivados luego de familiarizarse más degradados:

$$\frac{\partial S}{\parcial \phi_i} = \pmatrix{ \sqrt{g_1}\,\frac{dL}{d\phi}\left(\phi_1,g_1\right)\\ \sqrt{g_2}\,\frac{dL}{d\phi}\left(\phi_2,g_2\right)\\ \sqrt{g_2}\,\frac{dL}{d\phi}\left(\phi_3,g_3\right)\\ }\qquad \frac{\partial S}{\partial g_i} = \pmatrix{ \sqrt{g_1}\,\frac{dL}{dg}\left(\phi_1,g_1\right)\\ \sqrt{g_2}\,\frac{dL}{dg}\left(\phi_2,g_2\right)\\ \sqrt{g_2}\,\frac{dL}{dg}\left(\phi_3,g_3\right)\\ }+\pmatrix{ \frac{d\sqrt{\phantom{l}g_1}}{dg_1}\,L\left(\phi_1,g_1\right)\\ \frac{d\sqrt{\phantom{l}g_2}}{dg_2}\,L\left(\phi_2,g_2\right)\\ \frac{d\sqrt{\phantom{l}g_3}}{dg_3}\,L\left(\phi_3,g_3\right)\\ }$$

La mezcla de derivados será una matriz diagonal: $$\frac{\partial^2}{\parcial \phi_i\partial g_j} = \pmatrix{ \sqrt{g_1}\,\left.\frac{d^2L}{d\phi dg}\right|_{\phi_1g_1} + \frac{d\sqrt{\phantom{l}g_1}}{dg_1}\,\left.\frac{dL}{d\phi}\right|_{\phi_1g_1}&0&0\\ 0& \sqrt{g_2}\,\left.\frac{d^2L}{d\phi dg}\right|_{\phi_2g_2} + \frac{d\sqrt{\phantom{l}g_2}}{dg_2}\,\left.\frac{dL}{d\phi}\right|_{\phi_2g_2}&0\\ 0&0&...\\ }$$ Desde ese punto de vista su "conveniencia" definición " es (a) incompleta, (b) no se ven realmente sensible y (c) no parece demasiado conveniente, después de todo.

Quiero decir -- se va a dividir los gradientes de las componentes (b) por el $\sqrt{g_i}$? Bien, pero ¿qué acerca de (a) los términos adicionales en los derivados sobre $g$? ¿Quieres restar los términos adicionales, o salir de ellos? En cualquier caso, que "las nuevas definiciones de" definitivamente no conmutan (c).

Me sugieren que haga de su mente en esos términos simples, y luego generalizar a partir de 3D hasta los espacios funcionales...

Answer 3

Suponiendo que g es constante, la única manera de sus ecuaciones "hold", es si $F[\phi] = e^\phi$.

Espero que esto sea útil.