¿Cuántos arreglos de una baraja (generalizada) (generalizada) tiene pares en ellos?

Question

Considere la posibilidad de una generalización de la cubierta de $n$ tarjetas. Es decir, $n$ objetos (generalizado de las tarjetas), caracterizada por un par de discretos índices: $(i,j)$, donde $i$ es el rango y $i=1,\dots,R$ $j$ es el traje y la $j=1,\dots,S$.

Para una cubierta regular tenemos $R=13$ (del As al Rey) y $S=4$ (Picas, Corazones). Además consideramos un $T$-"tupla" de las tarjetas con las $T \leq S$. Un $T$-tupla es $T$ (o más) cartas del mismo valor (el mismo que yo índice) en una fila dentro de la baraja.

Pregunta: ¿cuántos arreglos de estas tarjetas de n ha $T$-tuplas en ellos?

intuitivo: Mi pregunta originó en el caso especial de una baraja normal y $T=2$ es decir, los pares. Cómo muchos de los arreglos de la $52$ tarjetas no tienen pares en ellos? (y a partir de ahí uno puede fácilmente calcular la probabilidad de no encontrar los pares de una baraja) por ejemplo, una baraja que va como 8 3 7 4 6 7 5 4 K Q K K ...etc golpea un par en los últimos 2 tarjetas

Answer 1

Jair Taylor maravillosa respuesta a esta pregunta MSE se muestra cómo encontrar el número de acuerdos de la $n$ tarjetas sin pares. La respuesta es $$\int_0^\infty (q_S(x))^R \, \exp(-x)\,dx,$$ donde $q_S$ es el polinomio $q_S(x) = \sum_{i=1}^S \frac{(-1)^{i-S}}{i!} {S-1 \choose i-1}x^i$.

Al $S=4$ $R=13$ el número de par-régimen libre es $$\int_0^\infty q_4(x)^{13} \, \exp(-x)\,dx =4184920420968817245135211427730337964623328025600$$ y la correspondiente probabilidad es alrededor de $.045476$.

Para las secuencias de una longitud diferente, decir triples, usted necesita para reemplazar el $q$ funciones con otros polinomios. Incluso puedes mezclar las cosas, y prohibir a los patrones de longitudes diferentes para diferentes valores, por ejemplo, no hay tarjetas de la cara ocurren en parejas, ases y doses no puede ocurrir en triples, pero de lo contrario no hay restricciones.

Para aprender a hacer estos cálculos, y mucho más, te recomiendo Jair del arXiv papel: Conteo de palabras con Laguerre de la serie.