La intuición detrás de vectores propios generalizados

Question

Ordinaria autovector puede ser visto como un vector en el que el operador actúa sólo por estiramiento (sin girar).

Hay una intuición semejante detrás de vectores propios generalizados?

EDIT: Por vectores propios generalizados me estoy refiriendo a los vectores en el núcleo de $(T-\lambda I)^k$ algunos $k$.

Answer 1

Algunos intuición es la ofrecida por la Forma Normal de Jordan, y aun más, se obtiene mediante la comprensión de una prueba.

El Jordan en la forma de un endomorfismo se descompone como la suma directa de los "bloques de Jordan"; si usted tiene una intuición de lo que es un bloque que está haciendo, puede comprender la totalidad de la suma directa.

Un bloque de Jordan geométricamente es la suma de dos operaciones. Una escala de todo por una constante, el valor propio. La otra, esencialmente, se derrumba el módulo en un codimension un submódulo.

El colapso es el nilpotent parte. Una intuición geométrica se obtiene teniendo en cuenta el más simple trivial ejemplo, la lineal mapa definido (en coordenadas) por $(x,y) \to (y,0)$: dos dimensiones se derrumbó sobre uno esencialmente en el olvido de la primera dimensión.

En un bloque de Jordan, el nilpotent operación generalmente es $(x,y, \ldots, z) \to (y, \ldots, z, 0)$. Esto establece una jerarquía en el módulo: la última dimensión genera el núcleo de $T$, las dos últimas dimensiones son asesinados por $T^2$, y así sucesivamente. La iteración $T$ bastantes veces eventualmente produce el cero mapa-eso es lo que significa ser nilpotent. Así, el núcleo de $(T-\lambda I)^k$ recoge todos los bloques de Jordan asociados con autovalor $\lambda$ y, hablando de algo vagamente, cada autovector generalizado obtiene reescalado por $\lambda$, hasta algún "error" plazo generados por algunos de los otros vectores propios generalizados.

En dos dimensiones, a continuación, un bloque de Jordan de los efectos de una transformación que se puede escribir en coordenadas apropiadas (dada por dos de los vectores propios generalizados) como $(x,y) \to (\lambda x + y, \lambda y)$: un isothety y transformación de sesgo juntos. La imagen geométrica no es realmente diferente de mayores dimensiones de los bloques.

Answer 2

Consideremos, en primer lugar los vectores propios asociados a $0$; estos son elementos de la nullspace. Ahora, es posible que para un vector a, no se encuentran en el nullspace, sino por su imagen, se encuentra en el nullspace (por ejemplo, considere la posibilidad de la transformación lineal $T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$T(x,y) = (y,0)$; a continuación,$T(0,1) = (1,0)$, e $T(T(0,1))=(0,0)$. O para la imagen de la imagen, se encuentra en el nullspace... etc. Si quieres pensar acerca de todos los vectores que eventualmente mapa a cero si mantiene la aplicación de $T$ (lo que parece más sensato pensar en muchas circunstancias), entonces usted está buscando para los vectores que se encuentran en la unión de la nullspaces de $T^n$, $n=1,2,\ldots$. Observe que $\mathbf{N}(T^n)\subseteq\mathbf{N}(T^{n+1})$, por lo que este es un aumento de la unión. Una vez que un vector mapas a $0$ bajo un poder de $T$, se queda allí. Estos vectores son precisamente la generalización de los vectores propios de a $T$ asociado a $\lambda=0$.

Así que, ¿qué hay de arbitrario autovalores? En lugar de pensar en un autovector asociado a $\lambda$ como un vector en el que $T$ hechos por el estiramiento/compresión, pensar en un autovector asociado a $\lambda$ como un elemento de la nullspace de $T-\lambda I$. La generalización de la autovector asociado a $\lambda$ son entonces los vectores que se encuentran en $\mathbf{N}((T-\lambda I)^n)$ para algún entero positivo $n$.

Answer 3

Generalizada autovectores también tienen una interpretación de la dinámica del sistema:
Si sólo se generalizado de los vectores propios se puede encontrar la dinámica de los componentes (=bloques en la forma canónica de Jordan) no puede ser completamente desacoplado. Sólo si la respectiva matriz es totalmente diagonizable una total disociación es posible.

Ver también este instructivo vídeo de la universidad de Stanford (a partir de la 1:00 horas):
http://academicearth.org/courses/introduction-to-linear-dynamical-systems