Demostrar que $10^{340} < \dfrac{5^{496}}{1985}$.
Me dijo que desde que $2^{13} < 10^{4}$, podemos ver que $5 = \dfrac{10}{2} > 10^{\frac{9}{13}}$$10^{340} < \dfrac{10^{343.38}}{1985} <\dfrac{5^{496}}{1985}$. Pero luego tengo para estimar el $\log_{10}{2} < 0.31$, que es bastante computacional. Hay una manera más fácil?
$$2^{340}\cdot 5^{340} \lt \dfrac{5^{496}}{1985}$$ es equivalente a $$2^{340}\lt \frac{5^{496-340}}{5\times 397}=\frac{5^{155}}{397}$$ que es equivalente a $$397\cdot 2^{340}\lt 5^{155}$$
Desde $397\lt 1024=2^{10}$, es suficiente para demostrar que $$2^{350}\lt 5^{155}$$ que es equivalente a $$2^{70}\lt 5\cdot 5^{30}$$ que es equivalente a $$5\gt \left(\frac{2^7}{5^3}\right)^{10}=(1.024)^{10}$$
Ahora, $(1.024)^{10}\lt (1.1)^{10}=(1.21)^5\lt 1.3\times (1.3)^4\lt 1.3\times (1.7)^2=3.757\lt 5$.
Se puede comprobar con una calculadora que $$ \frac{344}{153}<\frac{\ln{5}}{\ln{2}} $$ a continuación, de la siguiente manera: $$ \begin{align*} \frac{344}{153}&<\frac{\ln{5}}{\ln{2}}\\ 344\ln{2}&<153\ln{5}\\ 2^{344}&<5^{153}\\ 2^{344} \cdot 5^{343}&<5^{496}\\ 2000 \cdot 10^{340}&<5^{496}\\ 10^{340}&<\frac{5^{496}}{2000}<\frac{5^{496}}{1985}.\\ \end{align*} $$
Comenzando con
$$21^3=9261\lt10^4$$
y dejarnos $2^{11}=2048$, tenemos
$$2^{33}=2048^3\lt2100^3=21^3\cdot10^6\lt10^4\cdot10^6=10^{10}$$
lo que implica $10^{33}\lt5^{33}\cdot10^{10}$, o
$$10^{23}\lt5^{33}$$
De esto podemos obtener
$$10^{345}=(10^{23})^{15}\lt(5^{33})^{15}=5^{495}$$
y así
$$10^{340}\lt{5^{495}\over10^5}={5^{496}\over5\cdot10^5}\lt{5^{496}\over1985}$$
desde $1985\lt5\cdot10^5=500{,}000$.
Nota: Si quieres mantener todo seleccionable por el ojo, usted puede comenzar su lugar con
$$21^3=3^3\cdot7^3=27\cdot49\cdot7\lt28\cdot50\cdot7=14\cdot100\cdot7=9800\lt10^4$$
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