Demostrar que $\frac{{a}^{2}}{b-1}+\frac{{b}^{2}}{a-1}\geq8$

Question

Necesito demostrar que para cualquier número real $a>1$ y $b>1$ la siguiente desigualdad es verdadera:

$$\frac{{a}^{2}}{b-1}+\frac{{b}^{2}}{a-1}\geq8$$

Answer 1

Si no te importa te doy los detalles de la respuesta de @Vasea Igor. Definir $f(a,b):=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$ , donde $a,b>1$ . Entonces $$ \frac{\partial}{\partial a}f(a,b)=\frac{2a(a-1)^2-(b-1)b^2}{(b-1)(a-1)^2}=\frac{2a^3-4a^2+2a-b^3+b^2}{(b-1)(a-1)^2}, $$ $$ \frac{\partial}{\partial b}f(a,b)=-\frac{a^2}{(b-1)^2}+\frac{2b}{a-1}=-\frac{a^3-a^2-2b^3+4b^2-2b}{(b-1)^2(a-1)}. $$ Las soluciones reales del sistema $$ 2a^3-4a^2+2a-b^3+b^2=0, $$ $$ a^3-a^2-2b^3+4b^2-2b=0 $$ son $$ (a,b)={(2,2),(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}. $$ Desde $a,b>1$ el único candidato es $(a,b)=(2,2)$ . Ahora calculamos $H(a,b)$ la matriz de Hesse de $f(a,b)$ en $a=2, b=2$ . $$ H(a,b)=\left[ \begin {array}{cc} \frac{2}{b-1}+2\,{\frac {{b} ^{2}}{ \left( a-1 \right) ^{3}}}&-2\,{\frac {a}{ \left( b-1 \right) ^{ 2}}}-2\,{\frac {b}{ \left( a-1 \right) ^{2}}}\\ -2\, {\frac {a}{ \left( b-1 \right) ^{2}}}-2\,{\frac {b}{ \left( a-1 \right) ^{2}}}&2\,{\frac {{a}^{2}}{ \left( b-1 \right) ^{3}}}+\frac{2}{a-1}\end {array} \right] . $$ Ahora tenemos $$ H(2,2)=\left[ \begin {array}{cc} 10&-8\\ -8&10\end {array} \right] . $$ Los valores propios de $H(2,2)$ son $18,2>0$ . Significa $H(2,2)$ es positiva definida, lo que implica que la función $f$ tiene un mínimo local (y a la vez global) en $a=2, b=2$ que es $f(2,2)=8$ .

Answer 2

WLOG asume $a \leq b$ Por lo tanto, $a^2 \leq b^2$ y $\frac{1}{b - 1} \leq \frac{1}{a - 1}$ . Por lo tanto, al Desigualdad de reordenamiento , $$\frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{a - 1} \geq \frac{a^2}{a-1} + \frac{b^2}{b - 1}$$ A partir de aquí, basta con seguir los pasos de Valentin, $$\frac{a^2}{a - 1} + \frac{b^2}{b - 1} = 4 + (a - 1) + \frac{1}{a - 1} + (b - 1) + \frac{1}{b - 1} \geq 4 + 2 + 2 = 8$$

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Como señala Chris, $(a - 2)^2 \geq 0$ implica $a^2 - 4a + 4 \geq 0$ o $a^2 \geq 4(a - 1)$ y por lo tanto $\frac{a^2}{a - 1} \geq 4$ . De este modo, se acortan algunos pasos más.

Answer 3

Como indicó Marvis, el problema equivale a demostrar que para $x, y > 0$ uno tiene $${(1 + x)^2 \over y} + {(1 + y)^2 \over x} \geq 8$$ Para que los términos tengan la homogeneidad adecuada, es natural utilizar AM-GM en los numeradores de la forma $1 + x \geq 2\sqrt{x}$ y $1 + y \geq 2\sqrt{y}$ . Obtenemos $${(1 + x)^2 \over y} + {(1 + y)^2 \over x} \geq 4 {x \over y} + 4{y \over x}$$ Utilice AM-GM una vez más, obteniendo ${x \over y} + {y \over x} \geq 2$ . Sustituyendo esto en lo anterior se obtiene el resultado. (Nótese que esto es similar a lo que hizo N.S.).

Answer 4

Por C-S $$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq\frac{(a+b)^2}{a+b-2}\geq8,$$ donde la última desigualdad es sólo $(a+b-4)^2\geq0$ .

¡Hecho!