hay un punto en la distancia exactamente $1$ desde tres puntos distintos en el plano

Question

Considere la posibilidad de $n\geq 1$ puntos en el plano. Quiero mostrar que hay un punto en la distancia exactamente $1$ desde tres puntos distintos en el plano.

Yo quiero probar esto como parte de una prueba que estoy escribiendo para un problema en particular. Este hecho parece obvio, sin embargo, no es fácil para mí para probar. Voy a suponer que estoy trabajando con la distancia Euclidiana.

Es allí cualquier manera de demostrar este hecho, usando el triángulo o invertir el triángulo de las desigualdades?

Gracias!

Answer 1

Tomar cualquier par de los tres puntos. El conjunto de puntos que equidistan de los dos puntos forman una línea; la bisectriz perpendicular de la línea que une esos dos puntos. Ahora uso el otro punto y uno de los primeros dos puntos para formar una línea equidistante de los dos puntos también.

Si estas dos líneas se cruzan, lo hacen en un solo punto. Este es el único punto que es equidistante de los tres puntos. (También es el circuncentro del triángulo creado por los tres puntos).

Si los tres puntos son colineales, las dos líneas formadas no se cruzan y no hay equidistnt punto.

Tenga en cuenta que los dos equidistantes conjunto de líneas debe ser distinta a la original de tres puntos son distintos.

El punto que es equidistante de los tres puntos especificados puede o no puede ser a distancia $1$, por supuesto. Pero hay un dicho punto.