Es $\int_{-\infty}^{\infty} \sin x \, \mathrm{dx}$ ¿diferente o convergente?

Question

Estaba determinando si

$$\int_{-\infty}^{\infty} \sin x \, \mathrm{dx}$$

era divergente o convergente. Así que hice los siguientes pasos:

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \sin x \, \mathrm{dx} &= \int_{0}^{\infty}\sin x \, \mathrm{dx}+\int_{-\infty}^0\sin x \, \mathrm{dx} \\ &=\lim_{t\rightarrow\infty} \left(-\cos x |^{t}_{0}\right) + \lim_{a\rightarrow-\infty} \left(-\cos x |^{0}_{a}\right)\\ &=\lim_{t\rightarrow\infty} -\cos (t) + \cos 0 + \lim_{a\rightarrow-\infty} -\cos 0 + \cos a\\ &=\lim_{t\rightarrow\infty}1 - \cos t + \lim_{a\rightarrow-\infty} -1+\cos a \end{align}$$

Ahora, en este punto, sería razonable decir que ambos límites son indefinidos y por lo tanto, la integral es divergente pero entonces si intento algo como lo siguiente

\begin{align} \quad\quad&=\lim_{t\rightarrow\infty}1 -\cos t + \lim_{a\rightarrow\infty} -1+\cos a \\ \quad\quad&=\lim_{t\rightarrow\infty}-1 -\cos t + \lim_{a\rightarrow\infty} \cos a+1 \\ \quad\quad&=\lim_{b\rightarrow\infty}-1 +\cos b - \cos b+1 \\ \quad\quad&= 0 \end{align}

Así que, como se puede ver, se demostró antes que la integral es divergente, pero con un poco de manipulación, llegamos a una respuesta de $0$ ¿pero es válido? Supongo que se puede aplicar una técnica similar a $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} \, \mathrm{dx}$ .

Answer 1

Su primera afirmación era correcta: el límite no existe. $t$ y $a$ no están relacionados, por lo que no hay ninguna razón de peso para que pueda establecer $t=a=b$ y tomar un límite. Para $\int_{-\infty}^\infty \sin x dx$ por definir, ambos $\int_{-\infty}^0 \sin x dx$ y $\int_{0}^{\infty} \sin x dx$ debe existir: pero como has visto, ni lo uno ni lo otro.

En cambio, lo que ha calculado se llama Valor principal de Cauchy en efecto, el valor principal de Cauchy de $$\int_{-\infty}^\infty \sin(x) dx$$ es $0$ (como en todas las funciones impar).

Answer 2

El problema con $\int_0^t\sin(x)dx $ es que ésta (en función de $t$ ) oscila en torno a $0$ . En cada período del integrando primero se suma y luego se quita la misma cantidad indefinidamente. Por lo tanto no converge.

$\int \frac{1}{x}$ es diferente. Ambos $\int_0^1 \frac{1}{x}$ y $\int_1^\infty \frac{1}{x}$ divergen, sin oscilar. La integral finita $\int_1^t \frac{1}{x}$ es, por ejemplo, positivo para todos $t$ .

Answer 3

Tal vez sea útil.

La transformación inversa de Fourier de la función delta de Dirac es $$ \delta (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} \omega $$

Dejando $\omega = x$ se demuestra que $$ \int_{-\infty }^\infty \sin x\mathrm{d} x= \Im(2\pi \delta (t=1)) = 0 $$

Answer 4

En el análisis de Fourier (especialmente en física), una técnica de adición de $e^{-\lambda |x|}$ en la integral, integrando y limitando $\lambda \to 0$ se utiliza habitualmente como método de regularización. Pero de lo contrario, como otros han señalado, la integral diverge, porque no importa lo lejos que se integre, el resultado parcial no converge (no deja de cambiar).

Answer 5

La segunda forma que utilizas para calcular la integral no es legítima, ya que los límites en la integral impropia deben calcularse por separado, en general. Por lo tanto, la integral es divergente.