¿Cuándo $A^p$ es una diagonal $2\times 2$ matriz implica que $A$ es una matriz diagonal

Question

Deje $A \in\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ $p > 1$ ser un número natural. Bajo qué condiciones la siguiente afirmación es verdadera?

$A^p$ es una matriz diagonal implica $A$ es una matriz diagonal

Para el caso de $p=2$ $A^2 \neq \pm \mathrm{Id}$ es un cálculo simple para mostrar lo que es cierto.

Answer 1

Incluso cuando $p=2$$A^2\neq \pm I_2$, esto es falso. Así que no estoy seguro de lo que sus cálculos eran. Tomar $$ A=\pmatrix{0&\lambda\\1&0}\qquad \qquad A^2=\pmatrix{\lambda&0\\0&\lambda}. $$ Tan pronto como $A^p$ tiene un repetidas autovalor, podemos construir un contraejemplo. En otras palabras, más de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, $\lambda I_m$ tiene un nondiagonal $p$th raíz para cada $n\geq 2$$p\geq 2$. Como se ha mencionado por Georges Elencwajg y alex.jordania, basta escala de la adecuada rotación ($2\pi/p$, a menos que $p$ es incluso, $\lambda<0$, y usted realmente quiere hacer esto en $\mathbb{R}$, en cuyo caso se debe reducir la rotación de ángulo de $\pi/p$).

Pero si $A^p$ no tiene repetido autovalor, en $M_n(K)$ cualquier $p\geq 2$, tenemos una condición suficiente.

Si $A^p$ es la diagonal parejas con las distintas diagonal de coeficientes, a continuación, $A$ es diagonal.

Prueba: desde $A$ viajes con $A^p$, las hojas de los subespacios propios de a $A^p$ invariante. Por supuesto, estos son unidimensionales. Por lo que debe ser subespacios propios de a$A$. QED.

Más generalmente, si para algún polinomio $p(X)\in K[X]$, $p(A)$ es diagonalizable con pares distintos coeficientes, a continuación, $A$ es diagonalizable en la misma base.

Por supuesto, todo esto se cae a pedazos tan pronto como $p(A)$ tiene un autovalor de multiplicidad, al menos, dos.

Comentario: es bueno pensar en ello en términos de commutant. Dada una matriz diagonalizable $B\in M_n(K)$, denotan $C(B):=\{A\in M_n(K)\,;\,AB=BA\}$. Este es un unital subalgebra de $M_n(K)$. Al $B$ es en diagonalized forma, $C(B)$ es de bloque diagonal con un bloque de $M_{n_j}(K)$ correspondiente a cada autovalor $\lambda_j$ de la multiplicidad $n_j$. Así que cuando todos los autovalores de a $B$ tiene multiplicidad $1$, todos estos bloques de reducir a los escalares, y el commutant es el álgebra todas las diagonales de las matrices en esta base. En su caso, $A$ pertenece a la commutant de $B=A^p$.

Answer 2

La muestra afirmación es falsa para todos los $p\gt 2$, como lo demuestran la matriz de rotación de ángulo de $2\pi/p$.