Me gustaría saber de una forma intuitiva de entender una secuencia de Cauchy y el criterio de Cauchy.

Question

Mi comprensión de la definición que figura en mi libro (Rudin) es este.

Seq. $\{p_n\}$ en un espacio métrico $X$ (yo sólo sé realmente $\mathbb R^k$) se dice que es una secuencia de Cauchy si para cualquier $\epsilon > 0$, $\exists N\in \mathbb N$ tal que $\forall n,m\ge N$, $d(p_n,p_m)<\epsilon$.

(1) yo lo veo como, dado un pequeño valor de $\epsilon$, podemos encontrar un número natural $N$ lo suficientemente grande como para que la distancia entre el $p_n$ $p_m$ es de menos de $\epsilon$. Estoy en lo cierto ?

La razón por la que estoy haciendo esto es porque yo estaba tratando de entender la prueba de cómo $$\sum a_nb_n$$ puede converger, y el libro dice esto

$$\left\lvert \sum_{n=p}^{q}a_nb_n\right\rvert \leq \epsilon$$

satisface el criterio de Cauchy y por lo tanto converge.

He leído otras preguntas y respuestas acerca de la secuencia de Cauchy, pero en realidad no me ayudan...

Puede que alguien me explique qué está pasando?

Editar:

Supongamos que

a) las sumas parciales de $A_n = \Sigma a_n$ forma una secuencia delimitada

b) $b_0 \geq b_1 \geq \dotsb$

c) $\lim_{b \to \infty} b_n = 0$

El uso de la suma parcial de la fórmula, de manera algebraica de la ecuación en la parte inferior está demostrado

$$\left\lvert \sum_{n=p}^{q}a_nb_n \right\rvert \leq \epsilon$$

Algebraicamente he tenido ningún problema, pero no sé por qué esto demuestra la convergencia. Pensé que para demostrar que una sucesión es de Cauchy, tenemos que encontrar la distancia entre dos términos de una secuencia. Que es donde estoy confundido.

Answer 1

El áspero intuición es que si vamos lejos a lo largo de la secuencia podemos llegar a un punto donde no varían mucho. Y si ese es el caso, debe mantenerse dentro de un rango estrecho de valores.

Si podemos reducir la variación arbitrariamente (elija $\epsilon$ tan pequeño como nos gusta) por ir lo suficientemente lejos ($N$ términos), entonces se puede reducir el rango de tanto como nos gusta, por lo que en última instancia hay un único valor del límite.

El valor del criterio es que se demuestra que existe un límite sin necesidad de saber cuál es el límite - sólo el uso de las propiedades internas de la secuencia.

Answer 2

Puesto que usted pidió específicamente cómo entender secuencias de Cauchy "intuitivamente" (en lugar de cómo hacer las $\epsilon,\delta$ pruebas con ellos), yo diría que la mejor manera de entenderlo es como Cauchy mismo podría haber entendido. Es decir, para todos infinito índices de $n$$m$, la diferencia de $p_n-p_m$ es infinitesmal. Tal formalisations existen, por ejemplo, en el contexto de la verdadera extensión del campo de los números reales.

En cuanto a la singular serie que le pidieron, lo que está pasando es que el libro está considerando la secuencia de $p_n$ de las sumas parciales de la serie, y aplicando el criterio de Cauchy para esta secuencia. Entonces la diferencia de $p_n-p_m$ es la expresión de la $\sum_m^n$ que escribió (hasta un ligero cambio en el índice).

Answer 3

Basta considerar el caso especial $\mathbb R$ para el propósito de la comprensión de la esencia de la misma. Así que, vamos a suponer que todo lo que sucede en $\mathbb R$.

Para una secuencia $a_n$ a converger a un límite finito $L$, significa que $$\forall \epsilon >0 \exists N s.t. \forall k>N: d(x_k,L)<\epsilon$$ which intuitively means that for any prescribed positive distance $\epsilon$, from some index onwards, all elements in the sequence are within that distance to the limit $L$.

Ahora, para la secuencia de Cauchy significa que $$\forall \epsilon > 0\exists N s.t. \forall n,m>N:d(x_n,x_m)<\epsilon $$ which intuitively means that for any prescribed positive distance $\epsilon$ from some index onwards all elements in the sequence are no more than $\epsilon $ distancia uno de otro.

Antes de examinar más a fondo las diferencias cruciales que nos deja la observación de que el oh tan importante propiedad de $\mathbb R$ (y en muchos otros espacios) es que son muy completos: Una secuencia converge si, y sólo si, se cumple la condición de Cauchy.

Así, las condiciones (en un completo espacio), en realidad, significan la misma cosa. Así que, ¿cuáles son las diferencias? Así, la condición para la convergencia a un límite requiere que se especifique un límite. La condición de Cauchy no, y esto es una gran cosa que ocurre a menudo cuando se quiere mostrar algo converge, pero no tienes idea de lo que podría converger. Por lo que muestran es de Cauchy (en un completo espacio) y a la conclusión de que converge.

Intuitivamente, es claro que cualquier secuencias convergentes es de Cauchy. Esto es así ya que si todos los elementos de un cierto índice en adelante están muy cerca de $L$ a continuación, se debe ser muy cose a la otra también. A la inversa, aunque no es claro y no siempre es cierto (como se dijo anteriormente, es la integridad de la propiedad de los reales, que no es un asunto trivial). Por ejemplo, en $\mathbb Q$ con el estándar métrico, cualquier secuencia de números racionales que converge en $\mathbb R$ a un número irracional es de Cauchy pero no converge en $\mathbb Q$.

Answer 4

Tienes razón acerca de que la comprensión de la secuencia de Cauchy.

Criterio de Cauchy significa que si un reales (o complejos) de la secuencia es de Cauchy, entonces es convergente. En este caso la secuencia es

$ S_{m} = \sum_{n=0}^{m}a_{n}b_{n} $.

Ahora, ¿cuál es el significado de $S_{m}$ Cauchy? Y, sin duda, usted sabe que la convergencia de la serie se define como la convergencia de la secuencia de $S_{m}$.

Answer 5

Vamos a empezar desde cero. Decimos que la serie infinita $\sum_{i = 0}^\infty a_i$ converge si la secuencia de sumas parciales $\{S_n\}$ converge, donde $S_n := \sum_{i =0}^n a_i$.

Supongamos $\{S_n\}$ es una secuencia de Cauchy. Entonces, por definición, para cada $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todo $n, m \ge N$, $|S_m - S_n| \le \epsilon$.

Para ser más claros, esto es equivalente a decir que para todos los $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $m > n \ge N$ implica

$$\bigg|\sum_{i = 0}^m a_i - \sum_{i=0}^n a_i\bigg| = \bigg|\sum_{i = n + 1}^m a_i \bigg| \le \epsilon$$

que es exactamente el criterio de Cauchy. Ahora, sólo es suficiente para mostrar que $\{S_n\}$ fue de Cauchy para mostrar que $\sum_{i = 0}^\infty a_i$ converge. Por qué?