Continuidad de una función se define de manera diferente en $\mathbb Q,\mathbb R\setminus \mathbb Q$

Question

Digamos que la función de definir $f(x)=2^x$ racional,$x$, e $f(x)=1$ para irracional $x$.

Mi pregunta es: esta función continua en todas partes? Creo que no, porque para cualquier $2$ números irracionales usted puede encontrar un racional entre ellas, y para cualquier $2$ racionales usted puede encontrar una irracional en el medio.

Mi segunda pregunta es: la función es continua y diferenciable en a $x=0$? Creo que es, y creo que ese $f'(0)=0$ a causa de la imagen. Estoy en lo cierto? (Por cierto, por favor, mantenga las respuestas en un muy bajo nivel, soy un cálculo AB estudiante). Gracias!

Answer 1

Ciertamente no es continua para cualquier $x$ tal que $2^x\neq 1$, está en lo correcto.

Además, tienes razón que es continua en a $x=0$, ya que en cualquier barrio de 0, que no eres más lejos de $1$ $2^x$ (a pesar de que podría estar más cerca). Por lo tanto el límite como usted se aproxima a 0 es bien definido.

Sin embargo, la función no es diferenciable porque se puede elegir una secuencia de racionales $x_n\to 0$ y una secuencia de irrationals $y_n\to 0$ y considerar $$\lim_{n\to\infty} \frac{f(x_n)-1}{x_n-0} \equiv \frac{2^{x_n}-1}{x_n-0} = \left[\frac {\mathrm d 2^x}{\mathrm d x}\right]_{x=0},\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{f(y_n)-1}{y_n-0} \equiv \frac{1-1}{y_n-0} = 0$$

Entonces la primera derivada es la de $e^{x\log 2}$$\log 2\neq 0$. De ahí que no haya derivado.

Aviso en el que los puntos los puntos racionales están inclinados en el origen, pero el irracional puntos son planas. Esto es lo que los de arriba se expresa.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f$ es continua sólo en $0$, por definición, para $x\neq 0$ también es fácil demostrar la discontinuidad en el uso de $\epsilon$-$\delta$ definición.

Tenga en cuenta que derivado de la $f$ no existe para $x\neq 0$ desde $f$ es discontinuo. Para $x=0$ tenga en cuenta que $2^x$ ha derivado diferentes de $0$, y es fácil demostrar que $f$ no es diferenciable en a $0$.

Pero, ¿qué pasa con la siguiente función de $h$ (que es también continuo sólo en $x=0$), que se define como

$$h(x)=\begin{cases} 0\ \ \text{ if } x\in\mathbb{Q}\\ x^2 \text{ if } x\in\mathbb{Q}^c\end{casos}$$

Ambas piezas tienen la misma derivados a $x=0$ podría pensar que aquí la derivada existe en un único punto de $ x = 0 $, e $ h '(0) = 0$.

Es la diferenciabilidad en un punto de verdad en este último caso?