$$ \ \frac{3}{(x^2+4)(x^2+9)} = \frac{Ax + B}{(x^2+4)} + \frac{Cx+D}{(x^2+9)} $$ Instrucciones dicen que "podemos anticipar que las $$ A = C = 0,$$, porque ni el numerador ni el denominador consiste en potencias impares de x, mientras que los valores distintos de cero de a, b, C llevaría a impar términos del grado en derecho"
Entiendo lo que estás diciendo, pero yo no siguen la lógica. Por favor alguien puede explicar en términos sencillos? Gracias
[Emigraron desde el comentario] Es más sencillo que el de verdad. Si pones $y=x^2$ usted puede obtener una fracción parcial de la descomposición en términos de $y$. Usted no pensaría tratando de incluir una raíz cuadrada plazo (correspondiente a $x$) en el numerador. Usted sabe que el $y$ versión se puede hacer en términos de y y se obtiene el $x^2$ versión sustituyendo de nuevo
El siguiente parece ser en el espíritu de las instrucciones, pero precisa. (Sin embargo, la sustitución de $y=x^2$ es mejor).
Deje $f(x)$ ser la función en el lado izquierdo. A continuación, $f(-x)=f(x)$ todos los $x$, $f(x)$ es una incluso de la función. Así $$f(x)=\frac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right).$$ Ahora mira en el lado derecho. Tenemos $$\begin{align*}\frac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right)&=\frac{1}{2}\left(\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{x^2+9}+\frac{-Ax+B}{x^2+4}+\frac{-Cx+D}{x^2+9}\right)\\ &=\frac{B}{x^2+4}+\frac{D}{x^2+9}\end{align*}.$$
La apertura de la mano derecha, obtenemos:
\begin{align*} \frac{Ax+B}{(x^2+4)}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+9)} &=\frac{(Ax+B)(x^{2}+9)+(Cx+D)(x^2+4)}{(x^2+4)(x^{2}+9)} \\ &=\frac{(A+C)x^3+(B+D)x^2+(9A+4C)x+(9B+4D)}{(x^2+4)(x^{2}+9)} \end{align*}
Si esto tiene que ser igual a $\frac{3}{(x^2+4)(x^{2}+9)}$ todos los $x\in\mathbb{R}$, entonces obviamente $A+C=0$, $B+D=0$, $9A+4C=0$ y $9B+4D=3$. A partir de las dos ecuaciones respecto de la relación de $A$ $C$ se sigue que $A=C=0$.
En realidad no tiene para expandir la ecuación general para ver por qué a y C debe ser 0. Imagínese que usted ha multiplicado ambos lados ya por los dos denominadores. A continuación, el lado izquierdo sería sólo 3.
Ahora busca en el lado derecho, si a y C son cero, entonces el lado derecho de contener los términos de tercer grado (porque de primer grado término del numerador multiplicado por el segundo grado de término del denominador es igual a un tercer grado de plazo). Es decir, los coeficientes de tercer grado sería Un+C. Desde el lado izquierdo no tiene ningún tercer grado términos, a+C = 0.
Por lo tanto, sabemos que a y C son de igual magnitud pero de signo contrario. Ahora mira en el primer grado, término en el lado derecho y sabemos que la 9A+4C=0, lo que significa que a y C no pueden en realidad ser de igual magnitud si no estuvieran cero. Por lo tanto, son ambos cero.
Así que su libro de texto podría simplemente haber dicho examinar las potencias impares de x en el lado derecho de la ecuación para anticipar que a=C=0.
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