Fórmula para la suma de los primeros $n$ Enteros Impares

Question

Estoy estudiando por mi cuenta Cálculo de Spivak y actualmente estoy repasando las páginas y los problemas sobre inducción. Este es mi primer encuentro con la inducción y me gustaría que alguien más experimentado que yo me diera una pista y orientación. El primer problema es el siguiente:

Encuentre una fórmula para $$\sum_{i=1}^n(2i-1)=1+3+5+...+(2n-1)$$ Y el siguiente problema relacionado:

Encuentre una fórmula para $$\sum_{i=1}^n(2i-1)^2=1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2$$

Las pistas dadas son: "¿Qué tienen que ver estas expresiones con $1+2+3+...+2n$ y $1^2+2^2+3^2+...+(2n)^2$ ?"

Reconozco que las sumas anteriores son la suma de todos los enteros Impares de $1$ a $n$ y la suma de todos los cuadrados de los enteros Impares de $1$ a $n$ respectivamente. Mi pregunta es, en problemas como estos, ¿hay que hacer un montón de ensayo y error, como he hecho durante bastante tiempo, o hay una manera más inteligente de hacerlo?

Answer 1

Hay una regla muy sencilla: Para cualquier progresión aritmética, es decir, cualquier serie en la que la diferencia entre elementos consecutivos es constante, la suma es igual al número de elementos, multiplicado por la media entre el primer y el último elemento.

En tu caso, el primer elemento es 1, el último elemento es 2n - 1, la media es n, hay n elementos, por tanto la suma es $n^2$ .

Answer 2

$$1+3+5+...+(2n-1)=n\times\,n=n^2$$

Answer 3

Por ejemplo:

$$\sum_{i=1}^n(2i-1)=2\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=1}^n1$$

Obsérvese que la última suma es sólo $\;1+1+...+1=n\;$ . Resuelve esto y la otra pregunta también.

Answer 4

Pista:

$$\sum_{i=1}^n (2i-1)=\sum_{i=1}^{2n} i-\sum_{i=1}^n 2i$$ $$\sum_{i=1}^n (2i-1)^2=\sum_{i=1}^{2n} i^2-\sum_{i=1}^n (2i)^2$$

Supongo que conoces las identidades $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}2$ , $\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ . Ahora, intenta escribir $\sum_{i=1}^n 2i$ en términos de $\sum_{i=1}^n i$ .

Del mismo modo, intente escribir $\sum_{i=1}^n (2i)^2$ en términos de $\sum_{i=1}^n i^2$ .

Aquí está el resto, pasa el ratón por encima del bloque amarillo si quieres verlo:

$\sum_{i=1}^n (2i)^2=4\sum_{i=1}^n i^2\qquad\sum_{i=1}^n (2i)=2\sum_{i=1}^n i$

Answer 5

La pista sugiere que conozcas las fórmulas de $1+2+...+2n$ y $1^2+2^2+...(2n)^2$ . La primera es obvia ( $\sum_{k=1}^N k = N(N+1)/2$ ), el segundo es un poco menor.

Una vez que te has dado cuenta de esto, tus dos sumas se pueden expresar fácilmente como una función de estas dos fórmulas.