Tengo dificultad en descubrir el comportamiento asintótico (he.e, la expansión asintótica) de la siguiente integral:
$$\newcommand\abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+(n\pi+x)\sin x}\tag1$$
La motivación es acerca de la convergencia de tales indebidas integral:
$$I=\int_0^\infty\frac{x^\beta dx}{1+x^\alpha\abs{\sin x}}\qquad\alpha,\beta>0$$
La integral anterior es debido a la G. Hardy, que podría resolverse en tal manera:
$$I_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{x^\beta dx}{1+x^\alpha\abs{\sin x}}=\int_0^\pi\frac{(n\pi+x)^\beta dx}{1+(n\pi+x)^\alpha\sin x}$$
Por lo tanto,$I=\sum_n I_n$, tan solo tenemos que estimar el comportamiento asintótico de $I_n$.
De hecho, se podría estimar aproximadamente, lo cual es suficiente para determinar la convergencia de $I$:
$$\frac{(n\pi)^\beta}{1+((n+1)\pi)^\alpha\sin x}\le\frac{(n\pi+x)^\beta}{1+(n\pi+x)^\alpha\sin x}\le\frac{((n+1)\pi)^\beta}{1+(n\pi)^\alpha\sin x}\qquad 0\le x\le\pi$$
Tanto el leftest lado y las más justas lado puede ser integrada sobre el intervalo cerrado a $[0,\pi]$ elementarily y son asintóticamente equivalente (aproximadamente $Cn^{-1}\log n$ donde $C$ es una constante).
Quiero ver más de cerca a la anterior integral. Podemos obtener la expansión asintótica de $I_n$? De la simplicidad, tome $\alpha=1$$\beta=0$, y con una ligera modificación, vamos a tratar con la versión más simple (1).
He tratado de Laplace del método, pero no después de algunos esfuerzos. Parece que el método de Laplace puede estimar $\int_0^{\pi/n}$ bien, pero $\int_{\pi/n}^{\pi/2}$ no es un insignificante de la cola.
