Cálculo de $\int \sqrt{1 + x^{-2}}dx$

Question

Me gustaría encontrar

$$\int \sqrt{1 + x^{-2}}dx$$

He comprobado que equivale a $$ \int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}dx $$ pero no estoy seguro de qué hacer al respecto. Con la sustitución trigonométrica $x = \tan(x)$ Me sale $$ \int \frac{1}{\sin(\theta)\cos^2(\theta)}d\theta $$ pero parece ser un callejón sin salida.

Answer 1

$$ \int \frac{1}{\sin(\theta)\cos^2(\theta)}d\theta $$ $$ =\int \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)(1-\cos^2(\theta))}d\theta $$ entonces usa $u=\cos(\theta)$ y fracciones parciales en el resultado.

Answer 2

Dejemos que $x^2+1=u^2$ para que $2x\,dx=2u\,du$ , lo que implica

$${dx\over x}={u\,du\over x^2}={u\over u^2-1}du$$

Entonces

$$\int{\sqrt{1+x^2}\over x}dx=\int{u^2\over u^2-1}du={1\over2}\int\left(2+{1\over u-1}-{1\over u+1} \right)du=u+{1\over2}\ln\left(u-1\over u+1 \right)+C\\=\sqrt{x^2+1}+{1\over2}\ln\left(\sqrt{x^2+1}-1\over\sqrt{x^2+1}+1 \right)+C$$

Answer 3

Y $$ \int \frac{1}{\sin(\theta)\cos^2(\theta)}d\theta= \int \frac{\sin\theta}{\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}d\theta= \int \frac{-d(\cos\theta)}{(1-\cos^2\theta)\cos^2(\theta)}d\theta=... $$

Answer 4

$$\int \sqrt{1 + x^{-2}}dx=\int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}dx$$

Con la sustitución $u=x^{2}$ , $du=2xdx$ .

$$\int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{u+1}}{2u}du=\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u+1}}{u}du $$

Con la sustitución $v=\sqrt{u+1}$ , $dv=\frac{1}{2v}du$ .

\begin{align} \frac{1}{2} \int \frac{u+1}{u}du &=\frac{1}{2} \int \frac{2v^{2}}{v^{2}-1}dv\\[6px] &=v-\operatorname{arctanh} (v)+C\\[6px] &=\sqrt{x^{2}+1}-\operatorname{arctanh}(\sqrt{x^{2}+1})+C. \end{align}

Answer 5

Set $x^{-1}=\sinh t$ Así que $\sqrt{1+x^{-2}}=\cosh t$ . Entonces $$ dx=-\frac{\cosh t}{\sinh^2t}\,dt $$ y la integral se convierte en $$ -\int\frac{\cosh^2t}{\sinh^2t}\,dt= -\int\frac{1+\sinh^2t}{\sinh^2t}\,dt=\frac{\cosh t}{\sinh t}-t+c= \sqrt{1+x^2}-\operatorname{arsinh}\frac{1}{x}+c $$ Puede encontrar una expresión más explícita para $\operatorname{arsinh}\frac{1}{x}$ al establecer $$ \frac{1}{x}=\frac{e^t-e^{-t}}{2} $$ o $$ xe^{2t}-2e^t-x=0 $$ así que $$ e^t=\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x} $$ La antiderivada final es $$ \sqrt{1+x^2}-\log\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+c $$