En un complejo doble de dos columnas, se obtiene de la secuencia espectral asociada secuencias cortas exactas $0\to E_2^{1,n-1}\to H^n\to E_2^{0,n}\to 0$ , donde $H^n$ es la cohomología del complejo total, pero nunca he visto la construcción de esta secuencia. Cualquier texto que he visto se limita a afirmarlo como un hecho, o lo deja como un ejercicio que no he tenido suerte tratando de resolver. ¿Puede alguien dar una construcción o una buena referencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto se deduce precisamente de la propia definición de convergencia de la secuencia espectral, una vez que se ha identificado la $\infty$ -término. Se hace con algunos detalles en McLeary's Guía del usuario ---que es, en mi opinión, una muy buena referencia tanto para los tecnicismos como para la pragmática del tratamiento de las secuencias espectrales.
Ahora, si usted es empezando por con un complejo doble de dos columnas (a diferencia de empezar con un complejo doble arbitrario cuya secuencia espectral tenga dos columnas contiguas), se pueden obtener las secuencias cortas exactas muy "a mano".
En efecto, supongamos que su doble complejo es $T^{\bullet,\bullet}=(T^{p,q})_{p,q\geq0}$ y que $T^{p,q}\neq0$ sólo si $p\in\{0,1\}$ . Si definimos los complejos $X^\bullet$ y $Y^\bullet$ con $X^q=T^{0,q}$ y $Y^q=T^{1,q}$ , con diferenciales procedentes del diferencial vertical $d$ de $T^{\bullet,\bullet}$ entonces el diferencial horizontal de $T^{\bullet,\bullet}$ puede verse como un mapa de complejos $\delta:X^\bullet\to Y^{\bullet}$ .
Ahora, en la secuencia espectral inducida por la filtración por columnas tenemos claramente $E_1^{0,q}=H^q(X^\bullet)$ , $E_1^{1,q}=H^q(Y^\bullet)$ y el diferencial en el $E_1$ página es inducida por el diferencial horizontal en $T^{\bullet,\bullet}$ . En otras palabras, el $E_1$ página es más o menos lo mismo que el mapa $H(\delta):H(X^\bullet)\to H(Y^\bullet)$ . Se deduce que tenemos secuencias cortas exactas $$0\to E_2^{0,q}\to H^q(X^\bullet)\xrightarrow{H^q(\delta)} H^q(Y^\bullet)\to E_2^{1,q}\to 0,$$ y la secuencia espectral muere en el segundo acto por razones de grado.
Por otro lado, existe una corta secuencia exacta de complejos $$0\to Y[-1]^\bullet\to\mathrm{Tot}\;T^{\bullet,\bullet}\to X^\bullet\to 0,$$ de la que obtenemos una larga secuencia exacta $$\cdots\to H^{q-1}(Y^\bullet)\to H^q(\mathrm{Tot}\; T^{\bullet,\bullet})\to H^q(X)\to H^q(Y)\to\cdots,$$ en el que se puede calcular directamente que el mapa $H^q(X)\to H^q(Y)$ es precisamente $H^q(\delta)$ . Como la primera secuencia exacta de cuatro términos nos identifica el núcleo y el cokernel de $H^q(\delta)$ La exactitud de la segunda secuencia exacta proporciona la secuencia exacta corta $$0\to E_2^{1,q-1}\to H^q(\mathrm{Tot}\; T^{\bullet,\bullet})\to E_2^{0,q}\to 0$$ que querías.
(Es un ejercicio extremadamente instructivo intentar ver qué se puede hacer con este espíritu para un complejo doble de tres columnas, y luchar con esto es un gran preludio para una exposición real a las secuencias espectrales...)
