Prueba que $\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0$ convergencia débil

Question

Quiero demostrar que en un espacio lineal normado $H$, que si $x_n$ es débil convergente a $x$ y $\lim_{n\to\infty} \|x_n\| = \|x\|$ a continuación:

$$\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0$$

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¿Puedo tener por favor una sugerencia? También ¿$\langle x,x\rangle^{\frac12}=\|x\|$ o algo?

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La impresión que tengo es, esencialmente $\lim_{n\to\infty}\|x_n\|-\|x\|=\lim_{n\to\infty}\|x_n - x\|$ debido a la convergencia débil, de lo contrario en el caso general:

$$\|x\|-\|y\|=\|x - y\|$ $ podría ser cierto, pero sólo si están en direcciones opuestas.

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Mi definición de convergencia débil es $\lim_{n\to\infty} \langle x_n,y\rangle =\langle x,y\rangle$, así que sospecho que se trata de un espacio de hilbert.

Answer 1

Esta propiedad se denomina propiedad de "(H)" y el espacio se llama un espacio "Radón Riesz".

Como ejemplo de este espacio podemos decir cada espacio de Hilbert como la prueba de @bartgol y $L^p$ $1<p<\infty$ y espacio de schur (en particular $\ell^1$).

Answer 2

OK, suponiendo que estás en un espacio de Hilbert (de lo contrario creo que debemos hacer uso de Hanh-Banach), simplemente se puede considerar funcional

$ F(x_n) = \langle x_n, x \rangle $$ y ver qué pasa cuando $n\to\infty$.

Entonces ¿qué pasa con $\|x-x_n\|^2=\langle x-x_n,x-x_n\rangle$?

Edit: sí, en cualquier espacio de Hilbert, por definición, $\|x\|^2 = \langle x,x \rangle$.