¿Qué hace $H=GL(2,\mathbb{R})/(Z(GL(2,\mathbb{R}))\cdot O(2,\mathbb{R}))$ ¿quieres decir?

Question

Dejemos que $H=\left\{ z\in\mathbb{C}\mid\Im\left(z\right)>0\right\}$ sea el plano superior de Poincare. Sea $GL\left(2,\mathbb{R}\right)$ sea el grupo lineal general, $Z\left(GL\left(2,\mathbb{R}\right)\right)$ sea el centro del grupo lineal general y $O\left(2,\mathbb{R}\right)$ sea el subgrupo ortogonal de $GL\left(2,\mathbb{R}\right)$ .

¿Qué significa decir $H=GL\left(2,\mathbb{R}\right)/\left(Z\left(GL\left(2,\mathbb{R}\right)\right)\cdot O\left(2,\mathbb{R}\right)\right)$ ? El lado izquierdo es un espacio métrico y el lado derecho es un conjunto de cosets de $GL\left(2,\mathbb{R}\right)$ . Así que estoy confundido sobre lo que significa escribir que son iguales o decir "el medio plano superior es..." Parece que esto sería el grupo de isometrías preservadoras de la orientación de H, pero sigo encontrando la terminología confusa.

He intentado averiguar qué podría significar esto, pero mis búsquedas en Internet no han sido fructíferas. También he consultado dos fuentes sobre grupos modulares estándar, pero no mencionan este hecho. Una explicación o referencia sería muy apreciada.

Motivación: Estoy leyendo un artículo titulado "On Modular Functions in characteristic p" de Wen-Ch'ing Winnie Li que se puede encontrar en http://www.jstor.org/stable/1997973 . La afirmación aparece en la página 3 del pdf (página 232 de la revista). También aparece en la página de la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_half-plane_model

Answer 1

H no es un grupo, sino un espacio con un grupo que actúa sobre él.

Si K ≤ G es un subgrupo, entonces G/K no suele ser un grupo, sino un conjunto de cosets sobre los que actúa G. G/K sólo es un grupo si K es normal.

En tu situación, el subgrupo no es normal, por lo que sólo obtienes una acción de grupo.

Una palabra clave del artículo de la wikipedia es "subgrupo de isotropía". Si G actúa transitivamente sobre un espacio H, entonces el conjunto K de elementos de G que fijan algún punto particular de H forma un subgrupo (el "subgrupo de isotropía"), y la acción de G sobre H es isomorfa a la acción de G sobre los cosets en G/K.

Answer 2

Mis comentarios se estaban alargando demasiado, así que publicaré esto como respuesta: el isomorfismo al que se refiere es un isomorfismo de $G$ -sets. Esto funciona con gran generalidad: dejemos que $H$ sea un conjunto, y que $G$ actuar $H$ de forma transitoria. Elige un punto arbitrario $z\in H$ y que $K=\text{Stab}_G(z)$ sea el estabilizador puntual en $G$ . Tenga en cuenta que $K$ no es normal en general, ya que el grupo $gKg^{-1}$ estabiliza el punto $g(z)$ (mi acción está a la izquierda). Así que, $K$ es normal si y sólo si actúa trivialmente sobre $H$ .

Sin embargo, el conjunto de cosets $G/K$ es siempre un $G$ -es decir, un conjunto con una acción de $G$ : $$g: hK\mapsto (gh)K$$ para todos $g\in G$ y $hK\in G/K$ . Esta es la acción habitual del coset. Ahora, comprueba que el mapa $$\phi:G/K\rightarrow H,\;gK\mapsto g(z)$$ es una biyección de $G$ -es decir, una biyección de conjuntos que respeta la $G$ -acciones.