Encontrar el núcleo de mapas entre anillos (polinomios)

Question

Si tengo un mapa entre anillos como $f\colon k[x_1,x_2]\to k[t],x_1\mapsto t^2-1,x_2\mapsto t^3-t$, ¿cómo puedo demostrar que el núcleo es $\mathfrak{a}=(x_2^2-x_1^2(x_1+1))$?

Veo que $\mathfrak{a}\subseteq \ker(f)$ $x_2^2-x_1^2(x_1+1)$ se asigna claramente a $0$, pero no veo cómo hacerlo de la otra dirección.

Mi idea era asumir $p\in\ker(f)$ que implicaría $p(t^2-1,t^3-t)=0$, pero me falta la conexión a $\mathfrak{a}$.

Answer 1

Que $p\in\ker(f)$, es decir, $p(t^2-1,t^3-t)=0$. Escriba $$p(x_1,x_2)=(x_2^2-x_1^2(x_1+1))q(x_1,x_2)+r(x_1,x_2)$$ with $\deg_{x_2}r\le1$. Then $r(x_1,x_2)=a(x_1)+b(x_1)x_2$ and from $p(t^2-1,t^3-t)=0$ we get $a(t^2-1)+b(t^2-1) (t ^ 3-t) = 0 $. Now conclude that $ a = b = 0$. (Para hacer este look en el grado de los polinomios involucrados en la última ecuación).

Answer 2

He aquí una prueba que utiliza la dimensión de Krull.

Observaciones: $\ker f$ $\mathfrak a$ son primos.

$\ker f$ es primo porque $k[x_1,x_2]/\ker f$ es una parte integral de dominio, $\mathfrak a$ es primo porque es generado por un elemento irreductible de $k[x_1,x_2]$ que es un disco flash usb, por lo que es generado por un primer elemento.

En $\text{Im} f=k[t^2-1,t^3-t]$ el elemento $t^3-t$ integral $k[t^2-1]$, es una raíz del polinomio $X^2-(t^2-1)^2((t^2-1)+1)$, por lo tanto $\dim k[t^2-1,t^3-1]=\dim k[t^2-1]=1$.

De esto se sigue que $\ker f$ tiene la altura $1$ pero $k[x_1,x_2]$ tiene dimensión $2$ lo sucesivo $\ker f$ sólo puede contener $(0)$ como un buen primer subideal, por lo $\mathfrak a=\ker f$.