Variables de Mandelstam 1 positiva 2 negativas

Question

Las tres variables de Mandelstam se definen como: $$s=(p_A+p_B)^2=(p_C+p_D)^2,$$$$t=(p_A-p_C)^2=(p_B-p_D)^2$$$$u=(p_A-p_D)^2=(p_B-p_C)^2.$$ Donde A y B son las partículas entrantes y C y D son las partículas salientes, y la segunda ecuación sigue de la conservación del cuadrimomentum.

La variable de Mandelstam $s$ da la energía del centro de masa y por lo tanto es siempre positiva, ahora para las variables de Mandelstam $t$ y $u$ las demandas se pueden encontrar observándolas en el marco del laboratorio, después de un cálculo sencillo se puede demostrar que:$$s\geq \max[m_A^2+m_B^2,m_C^2+m_D^2],$$ $$t\leq \min[m_A^2+m_C^2,m_B^2+m_D^2],$$ $$u\leq \min[m_A^2+m_D^2,m_B^2+m_C^2].$$

Esto significa que debería existir una situación en la que las tres variables de Mandelstam son positivas. Me preguntaba si tal situación existe, o si simplemente estoy pasando por alto algunos hechos y de hecho solo UNA variable de Mandelstam puede ser positiva?

Para profundizar más en el cálculo que me llevó a esta conclusión, he calculado estas variables en el marco en el que la partícula A está en reposo (ya que $s$, $t$ y $u$ son invariantes puedo hacer esto). Esto da como resultado para los momentos: $$p_A=(m_A,0),$$$$p_B=(E_B,\vec{p}_B),$$$$p_C=(E_C,\vec{p}_C),$$$$p_D=(E_D,\vec{p}_D).$$ Entonces para mis variables de Mandelstam obtendría que: $$s=(p_A+p_B)^2=p_A^2+p_B^2+2p_A\cdot p_B = m_A^2+m_B^2+2m_AE_B,$$ $$t=(p_A-p_C)^2=p_A^2+p_C^2-2p_A\cdot p_C = m_A^2+m_C^2-2m_AE_C,$$ $$t=(p_A-p_D)^2=p_A^2+p_D^2-2p_A\cdot p_D = m_A^2+m_D^2-2m_AE_D,$$ donde usé la primera igualdad en la definición de las variables de Mandelstam. Podría hacer el mismo cálculo con la segunda igualdad, si luego descartara los términos de la forma $2m_AE$ obtendría las desigualdades anteriores.

Editar: Sé que la segunda igualdad no da términos simples $2mE$, sino términos de la forma $$E_CE_D-\vec{p_C}\cdot\vec{p_D}=E_CE_D-|\vec{p_C}||\vec{p_D}|\cos(\theta),$$ y ya que $E^2=m^2+|\vec{p}|^2$ tenemos que $E>|\vec{p}|$, entonces estos términos son positivos.

Editar 2: He calculado esto para el proceso no elástico $e^-e^+\rightarrow\mu^-\mu^+$ (ya que los problemas inelásticos son la fuente del problema) y encontré que: $$s=2m(m+E_B),$$ $$t=m^2+M^2-2mE_C,$$ $$u=m^2+M^2-2mE_D,$$ donde $m$ es la masa del electrón y $M$ es la masa del muón, la partícula $A$ (ya sea un electrón o un positrón) está quieta y para la partícula $B$ (electrón o positrón) y $C$ y $D$ (las 2 partículas muón) las energías son $E_B$, $E_C$ y $E_D$. La variable $s$ es obviamente positiva, para verificar si $t$ o $u$ son positivas sumé y usé la conservación de la energía: $m+E_B=E_C+E_D$, lo cual da: $$t+u=2(m^2+M^2)-2m(m+E_B)=2(m^2+M^2)-s,$$ ahora para poder crear 2 muones la energía debería ser suficientemente alta, por lo tanto $s=(2M)^2$, al llenar esto en se obtiene: $$t+u=2(m^2-M^2).$$ Lo cual me lleva de nuevo a la pregunta: ''¿Debería solo una de las tres variables ser positiva (como la mayoría de los libros afirman) o hay casos especiales''? En mi derivación anterior usé las leyes de conservación, pero como se puede ver en este ejemplo la posibilidad de que $t$ y $u$ sean positivas (para un $E_B$ suficientemente pequeño) desaparece al exigir que la energía del centro de masa $\sqrt{s}$ sea suficientemente grande, ¿será esto siempre así?

Answer 1

I) Sí, por ejemplo, las tres variables de Mandelstam

$$ s~:=~(p_1+p_2)^2~=~m_1^2+m_2^2+2 p_1\cdot p_2 ~\approx~ (m_1+m_2)^2 + m_1m_2 ({\bf v}_1-{\bf v}_2)^2 ~>~0,$$

$$ t~:=~(p_1-p_3)^2~=~m_1^2+m_3^2-2 p_1\cdot p_3~\approx~ (m_1-m_3)^2 - m_1m_3 ({\bf v}_1-{\bf v}_3)^2 ~>~0,$$

$$ u~:=~(p_1-p_4)^2~=~m_1^2+m_4^2-2 p_1\cdot p_4~\approx~ (m_1-m_4)^2 - m_1m_4 ({\bf v}_1-{\bf v}_4)^2 ~>~0,$$

son estrictamente positivas en el límite no relativista

$$|{\bf v}_i|~\ll~ c, \qquad i~\in~\{1,2,3,4\},$$

de partículas masivas

$$m_i~>~ 0, \qquad i~\in~\{1,2,3,4\},$$

con masas (de reposo) desiguales

$$i~\neq~j\Rightarrow m_i~\neq~ m_j, \qquad i,j~\in~\{1,2,3,4\}.$$

Aquí hemos usado unidades donde $c=1$, y las fórmulas no relativistas

$$ {\bf p}_i~\approx~m_i{\bf v}_i, \qquad E_i~=~\sqrt{m_i^2+{\bf p}_i^2}~\approx~m_i\left(1+ \frac{{\bf v}_i^2 }{2}\right), \qquad i~\in~\{1,2,3,4\},$$

y

$$ p_i\cdot p_j~=~E_i E_j - {\bf p}_i\cdot {\bf p}_j~\approx~~m_i m_j \left(1+ \frac{1}{2}\left({\bf v}_i-{\bf v}_j\right)^2 \right), \qquad i,j~\in~\{1,2,3,4\}.$$

II) Por cierto, $s+t+u=\sum_{i=1}^4 m_i^2 \geq 0$ implica que es imposible tener todas las variables de Mandelstam $s,t,u<0$ negativas. Así que al menos uno de los tres sectores es físico.