Me he dado cuenta de que utilizar la integración por sustitución a ciegas puede llevar a algunos resultados extraños. Por ejemplo: con $u = x^2$ podríamos seguir ingenuamente el procedimiento habitual para encontrar $$ \int_{-1}^1 x^4\,dx = \int_{-1}^{1} x^3 \,x\,dx = \int_{u(-1)}^{u(1)} u^{3/2}\,du = \int_1^1 u^{3/2}\,du =0 $$ El paso incorrecto aquí es escribir $x = u^{1/2}$ ya que tendríamos $x = -u^{-1/2}$ en $[-1,0)$ . Si dividimos la integral original en una sobre $[-1,0]$ y otro sobre $[0,1]$ Por supuesto, obtenemos la respuesta correcta. Sin embargo, parece imposible realizar esta sustitución en este problema concreto. Ciertamente, no hay ninguna función $f$ tal que $\int_{u(-1)}^{u(1)}f(u)\,du$ produce el resultado correcto. Curiosamente, este hace producen el resultado correcto si el integrando es una potencia impar de $x$ .
En un curso más avanzado En el caso de los mapas de sustitución, se podría explicar diciendo que la sustitución sólo funciona correctamente si el mapa de sustitución es inyectivo (uno a uno) en el dominio de interés. Sin embargo, habiendo sido estudiante y profesor de cálculo integral, nunca he visto que un profesor o un libro de texto aborden esta cuestión (en el contexto del cálculo introductorio). Esto me lleva a las siguientes preguntas:
-
¿Por qué no aparece esto más a menudo? ¿Existe una conspiración para evitar los problemas cuando se produce esta situación, o es un problema que sólo surge en "casos patológicos"?
-
¿Por qué, desde el punto de vista pedagógico, no se aborda esta cuestión?
-
¿Es una coincidencia que en mi ejemplo de juguete, obtengamos la respuesta correcta cuando el integrando es $x^n$ con $n$ ¿impar?
EDITAR: Así que, aparentemente, algunos profesores/textos sí deciden abordar el tema, lo que supongo que no es tan sorprendente. Aun así, me interesaría escuchar el argumento de que "saltárselo no es para tanto".
Por otra parte, tal vez esa sea una pregunta más adecuada para el SE de matemáticas.
0 votos
De hecho, vi esto hace un par de semanas. Alguien estaba teniendo un gran dolor con las sustituciones. Para responder a la segunda pregunta, en un curso, los problemas están probablemente diseñados para que esto nunca ocurra. Por último, podrías haber dividido la respuesta en partes positivas y negativas.
0 votos
Gracias por preguntar esto. Ya me he encontrado con esta situación, pero al ser licenciado en física, desgraciadamente nunca me habían enseñado el rigor que hay detrás.