Averiguar si una matriz es una matriz de distancia o no

Question

Tengo un $5 \times 5$ simétrica matriz $A$ con ceros en la diagonal, y se supone que debo encontrar si existen 5 puntos en $\mathbb R^4$ tal que $A$ es la matriz de distancias. ¿Cómo puedo solucionar este formalmente? Supongo que tengo que usar un Gramo de la matriz, pero no sé qué hacer después de que...

Aquí es la matriz: $$A= \begin{pmatrix} 0 &1 &2 &2 &2\sqrt 2\\ 1& 0 &\sqrt5 &\sqrt5 &3 \\ 2 &\sqrt5 &0 &2\sqrt2 &2\\ 2 &\sqrt5 & 2\sqrt2 &0 &2\sqrt3\\ 2\sqrt2 & 3 &2 &2\sqrt3 &0 \end{pmatrix}.$$

Edit. Me quedé atrapado cuando traté de usar la técnica propuesta por user1551 en esta matriz

$$\begin{pmatrix} 0& \sqrt5 & \sqrt5 & \sqrt5 & \sqrt5 \\ \sqrt5 & 0& 2\sqrt5 & 2\sqrt2 & 2\\ \sqrt5 &2\sqrt5 & 0 & 2 & 2\sqrt2 \\ \sqrt5 & 2\sqrt2 & 2 & 0 &2 \sqrt5 &\\ \sqrt5 & 2 & 2\sqrt2 & 2 \sqrt5 &0\\ \end{pmatrix}.$$

El problema surge cuando trato de calcular $x_3$. He obtenido el siguiente sistema: $$-2\begin{pmatrix} \sqrt5 & 0\\ -\sqrt5 &0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{31}\\ x_{32}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10\\ -1\\ \end{pmatrix}.$$

Answer 1

Supongamos que queremos encontrar a $n+1$ vectores $x_0,x_1,\ldots,x_n$ $\mathbb{R}^n$ de manera tal que la distancia $d_{ij}$ entre cada dos vectores $x_i,x_j$ es dado. Por la traducción, podemos suponer que WLOG que $x_0=0$. Deje $X=(x_1,\ldots,x_n)$. Desde real ortogonal de matrices son isometrías, mediante la realización de una factorización QR, podemos suponer que WLOG que $X$ es triangular superior. Es decir, para cada una de las $k$, $(k+1)$- th, $(k+2)$-th, ... a a $n$-th coordenadas de los vectores $x_k$ son cero. Además, podemos suponer que la $x_{kk}$, $k$- ésima coordenada del vector $x_k$, es no negativa.

Así podemos determinar $x_k$ inductiva. Supongamos $x_0,\ldots,x_{k-1}$ son conocidos. Queremos encontrar el vector $x_k=(x_{k1},x_{k2},\ldots,x_{kk},0,\ldots,0)^T$ (de modo que $X^T=(x_{ij})$). Por supuesto, $$\begin{equation} \sum_{j=1}^k(x_{kj}-x_{ij})^2 = d_{ik}^2\tag{%#%#%} \end{equation}$$ para $\dagger$. Restar la ecuación con $i=0,1,\ldots,k-1$ de los demás y hacer uso del hecho de que $i=0$$x_{ij}=0$, obtenemos un triangular de sistema de $j>i$ ecuaciones lineales $$2\begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{21}&x_{22}\\ \vdots&&\ddots\\ x_{k-1,1}&x_{k-1,2}&\cdots&x_{k-1,k-1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{k1}\\x_{k2}\\ \vdots\\x_{k,k-1}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} d_{1k}^2-\|x_1\|^2\\ d_{2k}^2-\|x_2\|^2\\ \vdots\\ d_{k-1k}^2-\|x_{k-1}\|^2 \end{bmatrix} -(d_{0}^2-\|x_0\|^2) \begin{bmatrix}1\\1\\ \vdots\\1\\\end{bmatrix}.$$ Por lo tanto, $k-1$ puede ser resuelto mediante la sustitución. Ahora el coeficiente de $x_{k1},x_{k2},\ldots,x_{k,k-1}$ puede ser recuperado de ( $x_{kk}$ )$\dagger$, es decir,$i=0$. Así, el punto de $x_{kk} = \sqrt{d_{0k}^2-\sum_{j=1}^{k-1} x_{kj}^2}$ existe si y sólo si el sistema triangular es solucionable (lo cual es cierto si $x_k$) y $x_{11},\ldots,x_{k-1,k-1}\not=0$. Para su caso en particular, los cinco puntos que pueden ser elegidos como $d_{0k}^2\ge\sum_{j=1}^{k-1} x_{kj}^2$, $(0,0,0,0)$, $(1,0,0,0)$, $(0,2,0,0)$ y $(0,0,2,0)$.