Supongamos que queremos encontrar a n+1 vectores x0,x1,…,xn Rn de manera tal que la distancia dij entre cada dos vectores xi,xj es dado. Por la traducción, podemos suponer que WLOG que x0=0. Deje X=(x1,…,xn). Desde real ortogonal de matrices son isometrías, mediante la realización de una factorización QR, podemos suponer que WLOG que X es triangular superior. Es decir, para cada una de las k, (k+1)- th, (k+2)-th, ... a a n-th coordenadas de los vectores xk son cero. Además, podemos suponer que la xkk, k- ésima coordenada del vector xk, es no negativa.
Así podemos determinar xk inductiva. Supongamos x0,…,xk−1 son conocidos. Queremos encontrar el vector xk=(xk1,xk2,…,xkk,0,…,0)T (de modo que XT=(xij)). Por supuesto,
k∑j=1(xkj−xij)2=d2ik
para †. Restar la ecuación con i=0,1,…,k−1 de los demás y hacer uso del hecho de que i=0xij=0, obtenemos un triangular de sistema de j>i ecuaciones lineales
2[x11x21x22⋮⋱xk−1,1xk−1,2⋯xk−1,k−1][xk1xk2⋮xk,k−1]=[d21k−‖x1‖2d22k−‖x2‖2⋮d2k−1k−‖xk−1‖2]−(d20−‖x0‖2)[11⋮1].
Por lo tanto, k−1 puede ser resuelto mediante la sustitución. Ahora el coeficiente de xk1,xk2,…,xk,k−1 puede ser recuperado de ( xkk )†, es decir,i=0. Así, el punto de xkk=√d20k−∑k−1j=1x2kj existe si y sólo si el sistema triangular es solucionable (lo cual es cierto si xk) y x11,…,xk−1,k−1≠0. Para su caso en particular, los cinco puntos que pueden ser elegidos como d20k≥∑k−1j=1x2kj, (0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,2,0,0) y (0,0,2,0).