Estoy confundido en la aplicación de expectativa en el denominador.
¿E(1/X) =?
¿puede ser 1/E(X)?
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AdamSane
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puede ser de 1/E(X)?
No, en general, no puede; Jensen la desigualdad nos dice que si $X$ es una variable aleatoria y $\varphi$ es una función convexa, entonces $\varphi(\text{E}[X]) \leq \text{E}\left[\varphi(X)\right]$. Si $X$ es estrictamente positivo, $1/X$ es convexa, por lo $\text{E}[1/X]\geq 1/\text{E}[X]$, y para una estrictamente convexa de la función, la igualdad sólo se produce si $X$ cero, varianza ... así que en los casos en que tienden a estar interesado en, los dos son generalmente desigual.
Estoy confundido en la aplicación de la expectativa en el denominador.
Utilizar la ley de la inconsciente estadístico
$$\text{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x) dx$$
(en el caso continuo)
así que cuando $g(X) = \frac{1}{X}$, $\text{E}[\frac{1}{X}]=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx$
En algunos casos, la expectativa puede ser evaluado por la inspección (por ejemplo, con gamma variables aleatorias), o mediante la derivación de la distribución de la inversa, o por otros medios.
Cupcake
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Como Glen_b dicen es probablemente incorrecta, porque el recíproco es una función no lineal. Si quieres una aproximación a $E(1/X)$ tal vez puede utilizar una expansión de Taylor alrededor de $E(X)$:
$$ E \bigg (\bigg \frac{1}{X}) \approx E\bigg (\frac{1}{E(X)} - \frac{1}{E(X)^2}(X-E(X)) + \frac{1}{E (X) ^ 3}(X-E(X)) ^ \bigg 2) = \\ = \frac{1}{E(X)} + \frac{1}{E(X)^3}Var(X) $$ por lo que sólo tiene media y varianza de X, y si es simétrica la distribución de los $X$ esta aproximación puede ser muy exacta.
