Fibración contractible espacio es homotópicas a una fibra

Question

Deje $\pi: E \to B$ ser un fibration de $E$$B$, vamos a $F = \pi^{-1}(b)$ algunos $b \in B$ ser un representante de la fibra, y supongamos que $B$ es contráctiles. Es siempre el caso (o hay algunas buenas condiciones de garantizar) que $E$ es homotópica a $F$?

(Para los curiosos, el contexto es John Milnor a trabajar en la Milnor fibration: dada una analítica de la función $f: \mathbf{C}^m \to \mathbf{C}$ con un punto singular en el origen, la intersección de a $f^{-1}(0)$ con un nivel suficientemente pequeña esfera, $S_\epsilon^{2m-1}$ sobre el origen transversal. Llame a esta intersección $K$; el mapa de $\pi(z) = f(z)/|f(z)|$ da un localmente trivial fibration de $S_\epsilon^{2m-1}-K$$S^1$. Milnor parece confiar implícitamente en un resultado similar a la anterior.)

Answer 1

Sí, es siempre el caso. Si sólo necesita un débil homotopy equivalencia, mirar el largo de la secuencia exacta en homotopy: $$\requieren{cancel} \dots \a \cancelar{\pi_{n+1}(B)} \\pi_n(F) \a \pi_n(E) \a \cancelar{\pi_n(B)} \a \dots$$ para ver que la inclusión $F \to E$ induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos.

Más generalmente, si usted desea un lleno-en la homotopy equivalencia, puede utilizar el hecho bien conocido de que si $f_0, f_1 : B' \to B$ son homotópica y $E \to B$ es un fibration, entonces los dos fibrations $f_0^* E \to B'$ $f_1^* E \to B'$ son de fibra de homotópica. (La prueba de que esto es un poco más técnico).

En el presente caso, vamos a $f_0 = \operatorname{id}_B : B \to B$ $f_1 : B \to B$ a ser una constante mapa. Desde $B$ es contráctiles, $f_0 \sim f_1$. De curso $f_0^*E = E$, mientras que $f_1^*E \to B$ es la trivial fibration $B \times F \to B$. Desde estos dos fibrations son de fibra de homotopy equivalente, el total de sus espacios deben ser homotopy equivalente, es decir,$E \simeq F \times B$.

De hecho, incluso podemos ver que hay un fuerte resultado, que no es un diagrama de desplazamientos, donde las flechas verticales son homotopy equivalencias: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} F @>>> E @>>> B \\ @V{\sim}VV @V{\sim}VV @V{=}VV \\ F @>>> B \times F @>>> B \end{CD}$$