obtener el máximo de

Question

Deje $a,b,c$ ser positivos reales, tal que $\frac1a+\frac1b+\frac1c=a+b+c\ (\star)$, de encontrar el máximo de $\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2}$

Esta debe ser una aplicación de la Desigualdad de Jensen, así que tengo que encontrar una concavidad de la función a maximizar la suma, pensé para definir;

$f(\frac1x):=\frac{1}{x+a+b+c},\quad\frac{\partial^2f(x)}{\partial x^2}<0$

por lo $f$ es cóncava y, a continuación, la suma anterior es;

$f(\frac1a)+f(\frac1b)+f(\frac1c)$

el uso de Jensen debe ser menor o igual a

$3\cdot f(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}3)=3\frac{1}{\left(\frac3{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+a+b+c\right)^2}\overset{(\star)}=3\frac{1}{\left(\frac3{a+b+c}+a+b+c\right)^2}$

y el denominador puede ser minimizado con la AM-GM;

$\left(\frac3{a+b+c}+a+b+c\right)^2\ge\left(2\sqrt{3\frac{a+b+c}{a+b+c}}\right)^2=12$

por lo que el resultado es $\frac14$, pero es un error, ¿de dónde fallan, tal vez AM-GM valor no puede ser alcanzado ?

Answer 1

Mostraría algo el máximo es $\frac3{16}$ mediante la eliminación de la restricción engorrosa por homogeneización a: $$\frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}\sum_{cyc} \frac1{(2a+b+c)^2} \le \frac3{16}$ $ así que si $a+b+c=3$, esto es equivalente a $$16\sum_{cyc} \frac1{(3+a)^2} \le \frac1a+\frac1b+\frac1c$ $ que sigue de $f(a)+f(b)+f(c)\ge 0$ $$f(x) = \frac1x-\frac{16}{(3+x)^2}+\frac12(x-1) = \frac{(x-1)^2(x^2+7x+18)}{2x(3+x)^2} \ge 0$ $