Una convergencia de la serie cuando la relación de la prueba no funciona

Question

Deje $u_n$ ser una secuencia de números positivos, para cada n: ${u_{n+1}\over{u_n}}\le(\frac{n}{{n+1}})^\alpha$ al $\alpha>1$. Demostrar que $\sum_{n=1}^\infty {u_n}$ converge.

Me gustaría obtener una pista.

Answer 1

Sugerencia: $${u_{n+1}}\le\left(\frac{n}{{n+1}} \right)^\alpha u_n$$ Así, obtenemos $$u_n \le \frac{u_1}{n^\alpha},$$ y aplicar la prueba de comparación.

Answer 2

La hipótesis implica que la secuencia de $n^\alpha u_n$ es no creciente. En particular, está limitada por $M = u_1$. Desde $\alpha > 1$, esto produce $$ \sum_{n=1}^\infty u_n \leq \sum_{n=1}^\infty\frac{M}{n^\alpha} < \infty $$