Mostrar que $(C^1)^\perp =\{ 0\}$ en el producto interior en el espacio de funciones continuas

Question

En el libro de álgebra lineal por Werner Greub, en la página de $195,$ se le pide que

Deje $C$ ser el espacio de toda función continua en el intervalo $0\leq t \leq 1$ con el producto interior definido como $$(f,g) = \int_0^1 f(t) g(t)dt.$$ If $C^1$ denota el subespacio de todas continua funciones diferenciables, muestran que $(C^1)^\perp =\{ 0\}$.

Desde que estoy tratando de funciones diferenciables, pensé que usando integración por partes puede ser de ayuda, y tengo $$f(1)G(1) = f(0)G(0) + \int_0^1 f'(t)G(t) dt, $$ donde $G' = g $, pero no me da nada útil, tal y como yo lo veo.

Editar:

Esta es una pregunta en abstracto álgebra lineal libro, y sólo he tomado estudiante de primer año de Cálculo cursos sobre análisis funcional, por lo que le agradecería si usted da su respuesta de acuerdo a este hecho.

Answer 1

Suponga $f\in C,$ $\int_0^1 f(x)g(x)\, dx = 0$ todos los $g\in C^1.$ Definir $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt.$ Observar $F(1)=0,$ simplemente porque $F(1)=\int_0^1 f(t)\, dt = \int_0^1 f(t)\cdot 1\, dt.$

Vamos a integrar por partes como se estaban haciendo. Tenemos, para todos los $g\in C^1,$

$$0=\int_0^1 f(t)g(t)\,dt = F(1)g(1)-F(0)g(0) - \int_0^1 F(t)g'(t)\,dt.$$

Debido a $F(0)=0=F(1),$ obtenemos

$$\tag 1 \int_0^1 F(t)g'(t)\,dt=0 \text { for all } g\in C^1.$$

Una $g$ podemos tratar en $(1)$ $g(x) = \int_0^x F(t)\,dt,$ un buen $C^1$ función. Desde $g'(x) = F(x)$ por la FTC, obtenemos

$$\int_0^1 F(t)^2\,dt = 0.$$

Debido a $F$ es continua, la última igualdad implica la $F\equiv 0.$ por lo Tanto $F'(x) = f(x)=0$ todos los $x.$

Answer 2

Por Stone-Weierstrass tenemos una secuencia $(f_n)$ de los polinomios que convergen uniformemente a$f$$[0,1]$. Tenemos:

$$\int_0^1 |f(x) - f_n(x)|^2 dx \to 0$$

Pero:

$$\int_0^1 |f(x) - f_n(x)|^2 dx = \int_0^1 |f(x)|^2dx + \int_0^1 |f_n(x)|^2 dx - 2\int_0^1 f(x) f_n(x) dx = \int_0^1 |f(x)|^2 dx + \int_0^1 |f_n(x)|^2 dx \to 2 \int_0^1 |f(x)|^2dx$$

Por lo tanto, $\int_0^1 |f(x)|^2 dx = 0$ y por la continuidad, $f^2$ es el cero de la función (es decir, $f$ es la función cero)

Answer 3

Usted puede mostrar a través de una prueba indirecta:

Asumir que hay un $f \in C \cap (C¹)^{\perp}$$f(t_+) \neq 0$$t_+ \in [0,1]$.

Se puede suponer que la $f(t_+) \gt 0$ (o $(-f)$ como función): $$f(t_+)>0$$

$f$ es continua $\Rightarrow$ hay un intervalo de $I$ positiva con la longitud de la $d>0$ $t_+ \in I$ tal forma que: $$f(t) > \epsilon > 0 \mbox{ for all } t \in I$$ Ahora, elija otro más pequeño intervalo de $I_0 \subset I$ $t_+ \in I_0$ y la longitud de la $\frac{d}{2}$ y una función de $g \in C¹$ $g \geq 0$ en $[0,1]$, $g(t) = 1$ en $I_0$$g(x) = 0$$x \notin I$. Así que se puede obtener $$(f,g) = \int_0^1f(t)g(t)\,dt = \int_{I}f(t)g(t)\,dt \geq \int_{I_0}\epsilon \,dt = \epsilon\frac{d}{2} \gt 0$$

Esta es una contradicción a $f \in (C¹)^{\perp}$. Por eso, $f(t) = 0$ todos los $t \in [0,1]$.

Answer 4

Usted tiene que $P\subseteq{C^1}$ (donde P es el subespacio de polinimials definido en $[0,1]$). Y este subespacio es denso en $C$, lo $C^1$ es denso en $C$ (de la piedra-teorema de weierstrass). con esto se puede concluir que el $(C^1)^{\perp}=\{0\}$.