una nueva continuación de la fracción de $\sqrt{2}$

Question

En un q-continuó fracción relativa a la octaédrico grupo I se define una nueva q-continuó fracción de la plaza de ramanujan del octic continuó fracción que descubrí el uso de ciertos plazo de tres relaciones y operaciones algebraicas.

Deje $$\big(u(2\tau)\big)^2=\cfrac{2\,q^{1/2}}{1-q+\cfrac{q(1+q)^2}{1-q^3+\cfrac{q^2(1+q^2)^2}{1-q^5+\cfrac{q^3(1+q^3)^2}{1-q^7+\ddots}}}}$$

a continuación, usando el bien conocido especial valor $$\big(u(i)\big)^2= \sqrt{2}-1$$, que se encontró por primera vez por Srinivasa Ramanujan, en su primera carta a la GH Hardy ,conduce a la siguiente continuó la fracción de la raíz cuadrada de 2

$$\sqrt{2}=1+\cfrac{2\,e^{-\pi/2}}{1-e^{-\pi}+\cfrac{e^{-\pi}(1+e^{-\pi})^2}{1-e^{-3\pi}+\cfrac{e^{-2\pi}(1+e^{-2\pi})^2}{1-e^{-5\pi}+\cfrac{e^{-3\pi}(1+e^{-3\pi})^2}{1-e^{-7\pi}+\ddots}}}}$$

¿Cualquier persona puede verificar la identidad, ya sea por algebraica o numérica de los métodos?

Answer 1

Voy a seguir para la verificación de la identidad numérica. Una recursión hacia atrás fórmula para el $n$'th cociente parcial de la continuación de la fracción es

$$s_{k-1} = 1 - e^{-(2k-1)\pi} + \frac{e^{-k\pi}(1+e^{-k\pi})^2}{s_{k}}$$

for $k=n,n-1,\ldots,3,2,1$ and $s_n = 1$. Having calculated $s_0$ the $n$'th partial quotient is then given as $1 + \frac{2e^{-\pi/2}}{s_0}$.

Here is a numerical implementation of this recursion in Mathematica:

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n = 5;
s = 1;
Do[
 s = 1 - Exp[-(2 j + 1) \[Pi]] + (Exp[-\[Pi] (j + 1)] (1 + Exp[-\[Pi] (j + 1)])^2)/s;
, {j, n, 0, -1}]
(1 + (2 Exp[-\[Pi]/2])/s) - Sqrt[2]

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Below is a plot of the difference between the $n$'th partial quotient of the continued fraction and $\sqrt{2}$. Even for $n=3$ the error is found to be smaller than double precision $\sim 10^{-16}$ and one needs to use higher precision in the calculation to be able to find any difference. With higher precision I find that at $n=25$ the agreement is better than $500$ digits.

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$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

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For completeness here is the code used to calculate to arbitrary precision (here for $500$ dígitos):

Block[{$MinPrecision = 500, $MaxPrecision = 500},
n = 25;
s = 1;
Do[
  s = 1 - Exp[-\[Pi] (2 j + 1)] + (Exp[-\[Pi] (j + 1)] (1 + Exp[-\[Pi] (j + 1)])^2)/s;
, {j, n, 0, -1}];
N[(1 + (2 Exp[-\[Pi]/2])/s) - Sqrt[2], 500]
]