Fórmula general de las raíces repetidas.

Question

Demostrar que $$\underbrace{\sqrt{k\sqrt{k\sqrt{k\sqrt{\cdots\sqrt{k}}}}}}_{n\text { times}}=k^{1-1/2^n}$$ ¿Cómo se obtiene esta fórmula?

Answer 1

Caso base: $\sqrt{k}=k^{1/2}=k^{1-1/2^1}$ .

Paso de inducción: dejar $a_n$ sea el LHS cuando haya $n$ signos de raíz cuadrada. Si $a_n=k^{1-1/2^n}$ entonces $$ a^2_{n+1}=ka_n=kk^{1-1/2^n}=k^{2-1/2^n}\implies a_{n+1}=k^{1-1/2^{n+1}}. $$

Answer 2

$$\underbrace{\sqrt{k\sqrt{k\sqrt{k\sqrt{\cdots\sqrt{k}}}}}}_{n\text { times}} = \sqrt{k}\times\sqrt[4]{k}\times \ldots \times \sqrt[2^n]{k} = k^{1/2}\times k^{1/4}\times \ldots \times k^{1/2^n} = \\ = k^{\Large\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}} = k^{\Large1-\frac{1}{2^n}}$$

Answer 3

Toma el logaritmo (como ya se ha sugerido en los comentarios): $$ \frac{1}{2}\left(\ln k + \frac{1}{2}\left(\ln k + \frac{1}{2}\left( \ln k + \ldots \right) \right)\right)$$ $$ =\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^n}\right)\ln k$$ $$ =\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \ln k.$$

Answer 4

La primera $k$ es impulsado por $\frac{1}{2}$ el segundo por $\frac{1}{2^2}$ el $n$ -el calor es entonces $k^{\frac{1}{2^n}}$ entonces la expresión es igual a:

$$k^{\frac{1}{2^1}}\cdot k^{\frac{1}{2^2}}\cdot \dots k^{\frac{1}{2^n}}=k^{\sum_{i=1}^n \frac{1}{2^i}}$$