Con respecto a la Escalera de los Operadores y la cuantía de Osciladores Armónicos

Question

Cuando se trata con el Oscilador Armónico Cuántico Operador $H=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+x^{2}$, no es el enfoque de la utilización de la Escalera Operador:

Supongamos que hay dos operadores de $L^{+}$ $L^{-}$ y definen $f_{n}$ tal que

$$L^{+}(f_{n})=\sqrt{n+1}f_{n+1}$$

$$L^{-}(f_{n})=\sqrt{n}f_{n-1}$$

entonces $$L^{+}L^{-}(f_{n})=L^{+}(\sqrt{n}f_{n-1})=nf_{n}$$ $$L^{-}L^{+}(f_{n})=L^{-}(\sqrt{n+1}f_{n+1})=(n+1)f_{n}$$

Así

$$L^{+}L^{-}+L^{-}L^{+}=(2n+1)f_{n}$$

Ahora desde $$H=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+x^{2}=\left(x+\frac{d}{dx}\right)\left(x-\frac{d}{dx}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left[\left(x+\frac{d}{dx}\right)\left(x-\frac{d}{dx}\right)+\left(x+\frac{d}{dx}\right)\left(x-\frac{d}{dx}\right)\right]$$

$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{d}{dx}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{d}{dx}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{d}{dx}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{d}{dx}\right)$$

Si dejamos $$L^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{d}{dx}\right)\quad\text{and}\quad L^{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{d}{dx}\right)$$

a continuación, $$H=L^{+}L^{-}+L^{-}L^{+}$$

Desde $$L^{+}(f_{n})=\sqrt{n+1}f_{n+1}\implies$$

$$f_{n}=\sqrt{n!}L^{n}(f_{0})$$

Por lo tanto, si podemos a $f_{0}$ tal que

$$f_{n}=\sqrt{n!}L^{n}(f_{0})\implies L^{-}(f_{n})=\sqrt{n}f_{n-1}\tag{1}$$ would be satisfied, then we have found a set of eigenfunctions for H, which is $f_{n}$ y el correspondiente autovalor es 2n+1.

Ahora mi instructor dice que si dejamos $f_{0}$ estar en el núcleo de $L^-$, lo que significa que:

$$L^{-1}f_{0}=0\tag{2},$ $ (1) sería cierto.

Específicamente, esto significa que

$$f_{0}(x)=e^{-\frac{1}{2}x^{2}}.$$

Como ya se ha verificado (y comúnmente utilizados en la mecánica cuántica) que esta $f_{0}(x)$ satisface (1). Pero realmente no puedo ver cómo lo hace (2) conduce a (1). Es esta elección $f_0$ realmente una suerte de adivinar, o en realidad una elección, generalmente, funciona para todos los operadores que puede ser expresado como $H=L^{+}L^{-}+L^{-}L^{+}$? Una forma diferente de hacer esta pregunta es: en la escalera del operador en realidad sólo los operadores que nos dice cómo llegar de un estado a otro, o en realidad, es algo que podría ser utilizado como un método general de solución de algunas ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Creo que la confusión comienza cuando usted escribe "y definir $f_n$ que" en el principio. Las dos líneas después de que son dos maneras de definir el $f_n$, y parte de lo que necesita ser demostrado es que son equivalentes.

También parece que han conseguido $L^\pm$ mezclado, la que contiene el signo más es la aniquilación del operador y la que contiene el signo menos es la creación del operador, como se puede deducir del hecho de que su $f_0$ es realmente en el núcleo de lo que usted llama $L^+$. Voy a usar tu definiciones a fin de no confundir más las cosas, pero ten en cuenta que eso significa que $L^+$ es ahora la aniquilación del operador y $L^-$ es ahora la creación de operador.

Me gustaría proceder de la siguiente manera. El colector de la escalera de los operadores es

$$[L^+,L^-]=1\;.$$

Si $f_n$ es un eigenfunction de $H$ con autovalor $E_n$, $L^-f_n$ es un eigenfunction de $H$ con autovalor $E_n+2$:

$$ \begin{eqnarray} HL^-f_n&=&(L^+L^-+L^-L^+)L^-f_n \\ &=& (L^+L^-L^-+L^-L^+L^-)f_n \\ &=& (L^-L^+L^-+L^-+L^-L^-L^++L^-)f_n \\ &=& L^-(L^+L^-+1+L^-L^++1)f_n \\ &=& L^-(H+2)f_n \\ &=& L^-(E_n+2)f_n \\ &=& (E_n+2)L^-f_n\;. \end{eqnarray} $$

De la misma manera podemos ver que $L^+f_n$ es un eigenfunction de $H$ con autovalor $E_n-2$.

Ahora los autovalores de a $H$ son no-negativos. (Usted puede mostrar esto, por ejemplo, por tomar la expectativa de valor de $H$ e integrando por partes). Así, sucesivamente, se aplicar $L^+$ menor que el autovalor debe en algún punto de aniquilar a los eigenfunction. Por lo tanto hemos demostrado a) que cualquier eigenfunction da lugar a toda una sucesión de funciones propias con equidistantes autovalores y b) de esta sucesión debe terminar con una función que es aniquilada por $L^+$, y esto da lugar a una ecuación diferencial cuya solución es su $f_0$.

Entonces sólo queda normalizar la resultante funciones propias, y las que se derivan de la no-recursiva formas con el factorial factores se convierte en un simple ejercicio en la inducción.

Answer 2

Yo diría que todo lo que usted necesita (1) está dada en (2): De $L^-$ obtener $L^+$ $f_0$ está dada por (2).

Si es posible expresar su Hamiltoniano como la escalera de los operadores, este enfoque también ayuda a simplificar la forma de obtener la solución de la ecuación diferencial. Ellos son, por ejemplo, también se utiliza en (finito dimensionales) giro de la física.

Respecto a su pregunta, si $f_0$ es sólo una suerte de adivinar, usted puede comprobar aquí, que la función Hermite $f_n$ cumplir con la recursión relaciones $$ x\;f_{n}(x) = \sqrt{\frac{n+1}{2}}f_{n+1}(x) + \sqrt{\frac{n}{2}}f_{n-1}(x) $$ y $$ f_n'(x) = -\sqrt{\frac{n+1}{2}}f_{n+1}(x) + \sqrt{\frac{n}{2}}f_{n-1}(x) . $$ y

Junto con la definición de $L^-=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\frac{d}{dx})$, se puede ver que $L^- f_0$ exactamente cancela a $0$.