Es de Cauchy fórmula de la apt para evaluar esta integral

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente. $$\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^\infty \frac{s \sin{(sr)}}{(s-k)(s+k)}\mathrm{d}s,$$ con $k$ $r$ reales constantes.

La integral puede ser escrito como $$\int_{-\infty}^\infty \frac{s e^{isr}}{(s-k)(s+k)}\mathrm{d}s-\int_{-\infty}^\infty \frac{s e^{-isr}}{(s-k)(s+k)}\mathrm{d}s,$$ que hace que sea más agradable, como parece adecuado el uso de Cauchy de la integral de la fórmula. Pero el problema que tengo es que los polos se encuentran justo en el intervalo real, por lo que es posible la explotación de la fórmula de Cauchy en tal caso?

Answer 1

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{{1 \over 2\ic}\,\pp\int_{-\infty}^{\infty} {s\sin\pars{sr} \over \pars{s - k}\pars{s + k}}\,\dd s:\ {\large ?}}$.

\begin{align}&\color{#c00000}{{1 \over 2\ic}\,\pp\int_{-\infty}^{\infty} {s\sin\pars{sr} \over \pars{s - k}\pars{s + k}}\,\dd s} ={\sgn\pars{r} \over 2\ic}\,\pp\int_{-\infty}^{\infty} {s\sin\pars{\verts{r}s} \over \pars{s - k}\pars{s + k}}\,\dd s \\[3mm]&={\sgn\pars{r} \over 4\ic}\,\pp\bracks{% \int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{\verts{r}s} \over s + k}\,\dd s +\int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{\verts{r}s} \over s - k}\,\dd s} \\[3mm]&={\sgn\pars{r} \over 4\ic}\,\pp\bracks{% \int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{\verts{r}s}\cos\pars{\verts{r}k} \over s}\,\dd s +\int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{\verts{r}s}\cos\pars{\verts{r}k} \over s} \,\dd s} \\[3mm]&={\sgn\pars{r} \over 2\ic}\,\cos\pars{\verts{r}k}\int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{s} \over s}\,\dd s ={\sgn\pars{r} \over 2\ic}\,\cos\pars{\verts{r}k}\,\pi \end{align}

$$ \color{#66f}{\large{1 \over 2\ic}\,\pp\int_{-\infty}^{\infty} {s\sin\pars{sr} \over \pars{s - k}\pars{s + k}}\,\dd s ={\pi \más de 2\ic}\,\sgn\pars{r}\cos\pars{r\,k}} $$