Acotamiento inferior de una relación de funciones gamma

Question

Intento demostrar que la siguiente función tiene un límite inferior de $\ \frac{1}{2}$ para todos $c\geq 2$ . O, alternativamente, que esa función aumenta con $\ c$ :

$$\frac{\Gamma\left[1+\frac{1}{c}\right] \Gamma[1+c]}{\Gamma\left[1+\frac{1}{c}+c\right]}$$

Tenga en cuenta que esto se puede reescribir de varias maneras, como por ejemplo $\ c\text{ B}[1+\frac{1}{c}, c]$ Trazando hasta 10.000 o así, parece muy claro que es creciente, acercándose a 1, pero no puedo averiguar cómo demostrarlo ni por integración ni por propiedades de las funciones especiales. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Nota: He encontrado en este documento en el Teorema 3, si $$(a-1)(b-1) \geq 0$$ entonces $$\text B(a,b) \geq \frac{1}{ab}$$

Entonces, pensé que si tomaba la función como $\ c \text B(1+ \frac{1}{c},c)$ donde $\ (\frac{1}{c})(c-1) \geq 0$ tenemos $$c \text B(1+ \frac{1}{c},c) \geq \frac{c}{\frac{c+1}{c} c} = \frac{c}{c+1} > \frac{1}{2}$$

Sin embargo, debo estar haciendo algo mal, ya que el valor de $\ c \text B(1+ \frac{1}{c},c)$ cuando $c=2$ es realmente menor que $\frac{2}{3}$ (aunque mayor que $\frac{1}{2}$ )

Answer 1

La siguiente demostración tiene como idea clave el uso del teorema del valor medio para tratar el cociente $\Gamma(1+c) / \log\Gamma(1+c+\tfrac1c)$ .

Dejemos que $\psi(t) = \Gamma'(t)/\Gamma(t) = \frac d{dt}\log \Gamma(t)$ sea el clásico función digamma (una función creciente para $t>0$ ). Se sabe, para los enteros positivos $n$ que $\psi(n) = H_{n-1} - \gamma$ es la diferencia entre el $(n-1)$ número armónico y la constante de Euler; en particular, $\psi(n) < \log n$ para números enteros positivos $n$ .

Basta con demostrar que $-\log 2$ es un límite inferior del logaritmo de su función. Tenga en cuenta que $$ \log\Gamma(1+\tfrac1c) + \log\Gamma(1+c) - \log\Gamma(1+c+\tfrac1c) = \log\Gamma(1+\tfrac1c) - \tfrac1c \psi(t) $$ para algunos $t$ entre $1+c$ y $1+c+\frac1c$ por el teorema del valor medio. $\Gamma(x)$ tiene un mínimo global (para x positivo) de aproximadamente $0.8856$ cerca de $x=1.4616$ y así $\log\Gamma(1+\tfrac1c) > -\frac18$ decir. Desde $\psi$ está aumentando y $t\le 1+c+\frac1c < \lceil c+2 \rceil$ tenemos $\psi(t) < \log( \lceil c+2 \rceil ) < \log(c+3)$ . Por lo tanto, $$ \log\Gamma(1+\tfrac1c) + \log\Gamma(1+c) - \log\Gamma(1+c+\tfrac1c) > -\frac18 - \frac{\log(c+3)}c, $$ que supera $-\log 2$ para $c\ge4$ decir.