Demostrar que la suma es finita

Question

Deje $j \in \mathbb{N}$. Conjunto $$ a_j^{(1)}=a_j:=\sum_{i=0}^j\frac{(-1)^{j-i}}{i!6^i(2(j-i)+1)!} $$ y $a_j^{(l+1)}=\sum_{i=0}^ja_ia_{j-i}^{(l)}$.

Por favor me ayudan a demostrar que la siguiente suma es finita $$ \sum_{j=1}^{\infty}j!\, a_j^{(l)} $$

Gracias.

Answer 1

Definir las funciones de generación de $a_n^{(l)}$ como $$ g_l(z) = \sum_{n\geq0} a_n^{(l)}z^n$$ A continuación, a partir de las relaciones de recurrencia que escribió, es fácil deducir que $$g_l(z) = \alpha(z)^l \beta(z)^l, \qquad \alpha(z) = e^{z/6}, \qquad \beta(z) = \frac{\sin\sqrt{z}}{\sqrt{z}}. $$

Escribir la cantidad de dinero que tienes en el formulario $$ \sum_{n\geq0} a_n^{(l)}n! z^n = \sum_{n\geq0} \int_0^\infty dt\, e^{-t}(tz)^n a_n^{(l)} = \int_0^\infty e^{-t} g(tz). $$ Si su suma converge absolutamente, entonces esta integral debe converger también y tienen el mismo valor, y si la integral converge (si él convergen absolutamente), entonces la suma convergerán. Sin embargo, asintóticamente $$ g(tz) = \Theta(e^{t z l /6} (tz)^{-l/2}), $$ de modo que la integral tendrá un término exponencial de la forma $e^{(-1+zl/6)t}$. Para la integral converge la parte real de la $-1+zl/6$ debe ser negativa, por lo que la suma convergerán si $$ \Re(z) \leq 6/l. $$

Establecimiento $z=1$ para obtener la suma deseada, convergen absolutamente al $l\leq 6$.