Compacto y abrir subespacios el uso de productos

Question

Me estoy preparando para una topología preliminar, y hay una pregunta relativa a la compacidad que estoy tratando de trabajar. Aquí está:

Deje $C$ ser un subespacio compacto de $X$, e $K$ ser un subespacio compacto de $Y$. Ahora vamos a $U$ ser un conjunto abierto en $X \times Y$ que contiene $C \times K$. Demuestran que existen abrir subespacios $V$ $X$ $W$ $Y$ tal que $$C \times K \subset V \times W \subset U.$$ Bueno, ciertamente, $C \times K$ es un subespacio compacto de $X \times Y$, ¿verdad? Entonces esto significaría que cada cubrimiento de $C \times K$ por la apertura de los conjuntos en $X \times Y$ contiene un número finito de subcolección cubriendo $C \times K$. No se puede usar $U$ abiertas como la cubierta, y luego de alguna manera obtener un número finito de subcolección que podría tener algo que ver con el espacio $V \times W$? Lo que me estoy perdiendo aquí? Agradecería algunos consejos de entrada, gracias.

Mi segundo intento:
Bien, bien podría dejar $U = A \times B$, $A,B$ abierto tal que $C \subset A, K \subset B$. Ahora podríamos dejar $\mathcal{C}$ ser un cubrimiento de a $C$; desde $C$ es compacto, existe un número finito de subcolección $\{V_1, V_2, … ,V_n\}$ $\mathcal{C}$ cubriendo $C$. A continuación, vamos a $V= A \cap (\bigcup_{i=1}^n V_i)$. Entonces, $V \subset A$, $V$ abrir y $C \subset V$. Del mismo modo, podemos encontrar $W$ tal que $W \subset B$, $W$ abrir y $K \subset W$, de modo que $$C \times K \subset V \times W \subset A \times B= U.$$ Espero que este era el enfoque correcto a tomar.

Answer 1

Deje $C$ $K$ ser compacto subconjuntos de a $X$ $Y$ respectivamente, y $U$ un conjunto abierto en $X\times Y$ s.t. $C\times K\subset U$. He aquí cómo usted puede encontrar los$V$$W$:

Fix $y\in K$. Ahora, para cada una de las $x\in C$ tenemos $(x,y)\in U$, de modo que existe la base de los elementos de la topología producto $B_{x}\times G_{x}\subset U$, de modo que $x\in B_{x}$$y\in G_{x}$. Desde $C$ es compacto y $C\subset \bigcup_{x\in C}B_{x}$, existe un número finito de $I\subset C$, de modo que $C\subset \bigcup_{x\in I}B_{x}$. Denotar $V_{y}=\bigcup_{x\in I}B_{x}$$W_{y}=\bigcap_{x\in I}G_{x}$. Ahora $C\subset V_{y}$ $y\in W_{y}$ donde $V_{y}\subset X$ $W_{y}\subset Y$ están abiertos conjuntos con $V_{y}\times W_{y}\subset U$. Esto podría ser hecho para cada una de las $y\in K$. Desde $K$ es compacto y $K\subset \bigcup_{y\in K}W_{y}$, existe un número finito de $J\subset K$, de modo que $K\subset\bigcup_{y\in J}W_{y}$. Denotar $V=\bigcap_{y\in J}V_{y}$$W=\bigcup_{y\in J}W_{y}$. Ahora $C\subset V$ $K\subset W$ donde $V\subset X$ $W\subset Y$ están abiertos conjuntos con $V\times W\subset U$.

Answer 2

Esta es una variación sobre el tubo de lema.

En primer lugar, cubierta $C\times K$ con un número finito de base de los elementos de $V\times W_i\subseteq U$,$1\leq i\leq n$. Construimos estos por la observación de que cualquier punto de $(c, k) \in C\times K$ pueden ser cubiertos por un conjunto abierto $V'\times W'\subseteq U$, $C\subseteq V'$ (esto es posible por la compacidad de $\{c\}\times K \subseteq U$). Ahora elegimos un número finito de subcover $\{V_i\times W_i\}$, y establecer $V = \bigcap V_i$.

Ahora, establezca $W= \bigcup W_i$, y hemos terminado.