Problema del principio de encasillamiento que implica la desigualdad 0 < | $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ | < 1

Question

Se seleccionan 21 enteros de entre {1, 2, 3, ..., 400}. Demuestre que dos de ellos, digamos x y y , satisfacen 0 < | $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ | < 1.

Estoy seguro de que hay que utilizar y aplicar el Principio de la Colocación. Por lo que he deducido, hay 400 números en el conjunto y $\sqrt{400} = 20$ . La diferencia mínima se obtiene mirando los enteros consecutivos. No sé dónde ir desde aquí.

Answer 1

Divide los 400 enteros en 20 grupos $g_1\ldots g_{20}$ , donde $n\in g_i$ si $i\le\sqrt n\lt i+1$ . Es decir: $$\begin{align} g_1 & = \{\mathbf{1}, 2, 3\} \\ g_2 & = \{\mathbf{4}, 5, 6, 7, 8\} \\ g_3 & = \{\mathbf{9}, 10, \ldots, 15\} \\ & \;\vdots \\ g_{19} & = \{\mathbf{361}, 362, \ldots, 399\} \\ g_{20} & = \{\mathbf{400}\} \end{align} $$

De las 21 palomas, dos deben estar en el mismo grupo $g_i$ .

Answer 2

Prácticamente tienes la solución. Dispongamos los enteros seleccionados en orden no decreciente y denotémoslos $a_1, a_2, \ldots, a_{21}$ . Ahora, $0 < a_1 \leq a_{21} \leq 400$ Por lo tanto $\sqrt{a_{21}}- \sqrt{a_1} < 20$ .

Ahora, fíjate en que $$ \sqrt{a_{21}}- \sqrt{a_1} = (\sqrt{a_{21}} - \sqrt{a_{20}}) + (\sqrt{a_{20}} - \sqrt{a_{19}}) + \ldots + (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}). $$

Hay $20$ sumandos en el lado derecho, todos son no negativos, y su suma es menor que $20$ . Se deduce por el principio de encasillamiento que uno de ellos es menor que $1$ .

Esto es algo diferente del método habitual de encasillamiento, es decir, no hay realmente palomas y encasillamientos. Pero el principio es similar. Suponemos que cada sumando es mayor o igual que $1$ concluimos que la suma es mayor o igual a $20$ Y esto es una contradicción.

ACTUALIZACIÓN Si se observa la respuesta de BFD, queda claro que también se puede aplicar el principio de encasillamiento estándar, habitual y "normal".

Answer 3

Consideremos la colección de veinte números { $1=1^2, 4=2^2,.....,400=20^2$ } Si eliges 21 números, uno de ellos estará dentro de un intervalo $(n^2, (n+1)^2)$

Answer 4

Elija $21$ enteros $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{21}$ . Supongamos, por si acaso, que $|\sqrt{x_i} - \sqrt{x_j}| \geq 1$ para todos los distintos $i$ y $j$ . En particular, tenemos $\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} \geq 1$ , $\sqrt{x_3} - \sqrt{x_2} \geq 1$ y así sucesivamente hasta $\sqrt{x_{21}} - \sqrt{x_{20}} \geq 1$ . Sumándolos, obtenemos $\sqrt{x_{21}} \geq 20+\sqrt{x_{1}} \geq 21\implies x_{21} \geq 441$ una contradicción.

Answer 5

Hay 20 casilleros, y hay 400 palomas, de las cuales seleccionarás 21. Los casilleros en este caso resultan ser cuadrados de diferentes anchos enteros: 1", 2", y así sucesivamente hasta 20". Convenientemente, las casillas también resultan ser cuadradas. Tienen distintas áreas integrales en pulgadas cuadradas, desde 1 pulgada cuadrada hasta 400 pulgadas cuadradas.

Las palomas saben que deben posarse en el palomar más pequeño en el que puedan caber, así que si dos palomas (de áreas $x$ y $y$ ) se posan en el mismo agujero, $\lfloor{\sqrt{x}}\rfloor=\lfloor{\sqrt{y}}\rfloor$ y por lo tanto $0<\left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right|< 1$ . Veintiuna palomas, veinte casilleros.