si $p+q+r=0$ Encontrar el valor de la Determinante

Question

si $p+q+r=0$ Demostrar que el valor de la Determinante

$$ \Delta= \begin{vmatrix} pa & qb &rc \\ qc & ra &pb\\ rb& pc & qa \\ \end{vmatrix} =-pqr \begin{vmatrix} a & b &c \\ b & c &a\\ c& a & b \\ \end{vmatrix}$$

Yo:Desde $p+q+r=0$ hemos

$$a(p+q+r)+b(p+q+r)+c(p+q+r)=0$$ $\implica$

$$(ap+qc+rb)+(qb+ra+pc)+(rc+pb+qa)=0 \tag{1}$$

Ahora la aplicación de $C_1 \to C_1+C_2+C_3$ y, a continuación, aplicar el $R_1 \to R_1+R_2+R_3$ $\Delta$ tenemos

$$\Delta= \begin{vmatrix} 0 & qb &rc \\ qc+ra+pb & ra &pb\\ rb+pc+qa& pc & qa \\ \end{vmatrix}$$

Ninguna idea de por aquí?

Answer 1

Por la regla de Cramer, ha$$\begin{vmatrix}pa&qb&rc\\qc&ra&pb\\rb&pc&qa\end{vmatrix}=prq(a^3+b^3+c^3)-abc(p^3+q^3+r^3).$$Pero\begin{align*}p^3+q^3+r^3&=\overbrace{(p+q+r)^3}^{\phantom{0}=0}-3(p q+r q+p r) (\overbrace{p+q+r}^{\phantom{0}=0})+3 p q r\\&=3pqr\end{align*} y por lo tanto su determinante es igual a \begin{align*}pqr(a^3+b^3+c^3-3abc)&=-pqr(3abc-a^3-b^3-c^3)\\&=-pqr\begin{vmatrix}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix},\end{align*}de nuevo por la regla de Cramer.