$$\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx $$ Trató parcialmente de integración, no tuvo suerte.. Alguna idea?
Respuestas
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Hay un truco.
Usted puede simplemente escribir $$\begin{align} \int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx &=\int_{-\sqrt3}^{0}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx+\int_{0}^{\sqrt3}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx\\\\ &=\int_0^{\sqrt3}{e^{-x}\over(e^{-x}+1)(x^2+1)}dx+\int_{0}^{\sqrt3}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx\\\\ &=\int_0^{\sqrt3}{1\over(e^{x}+1)(x^2+1)}dx+\int_{0}^{\sqrt3}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx\\\\ &=\int_0^{\sqrt3}{(1+e^{x})\over(e^{x}+1)(x^2+1)}dx\\\\ &=\int_0^{\sqrt3}{1\over x^2+1}dx\\\\ &=\left[\arctan x\right]_0^{\sqrt3}\\\\ &=\frac \pi3. \end{align}$$
schooner
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1602
Hay otra manera de resolver. Vamos $$ A=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}{e^x\over(e^x+1)(x^2+1)}dx, B=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}{1\over(e^x+1)(x^2+1)}dx. $$ Claramente $$ A+B=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\frac{1}{x^2+1}=2\frac{\pi}{3}.$$ El cambio de variable $x\to -x$, es fácil obtener la $A=B$. Así $$ A=\frac{\pi}{3}. $$
